PM2 -BM2= PO2 - BO2，于是OM⊥PB．

例8 (蝴蝶定理)AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=QM．

分析 圆是关于直径对称的，当作出点F关于OM的对称点F'后，只要设法证明⊿FMP≌⊿F'MQ即可．

证明：作点F关于OM的对称点F’，连FF’，F’M，F’Q，F’D．则 MF=MF’，?4=?FMP=?6．

圆内接四边形F’FED中，?5+?6=180?，从而?4+?5=180?， 于是M、F’、D、Q四点共圆， ∴ ?2=?3，但?3=?1，从而?1=?2， 于是⊿MFP≌⊿MF’Q．∴ MP=MQ．

说明 本定理有很多种证明方法，而且有多种推广．

例9 如图，四边形ABCD内接于圆，AB，DC延长线交于E，AD、BC延长线交于F，P为圆上任意一点，PE，PF分别交圆于R，S. 若对角线AC与BD相交于T.

求证：R，T，S三点共线．

分析 对于圆内接多边形有很多性质，本题涉及到圆内接六边形，我们先来证明两个引理． 引理1:

A1B1C1D1E1F1为圆内接六边形，若A1D1，B1E1，C1F1交于一点，则有

EFAPCM4EQ32B16O5DF'A1B1C1D1E1F1???1. B1C1D1E1F1A1如图，设A1D1，B1E1，C1F1交于点O，根据圆内接多边形的性

BRCTDF质易知

△ OA1B1∽△OE1D1，△OB1C1∽△OF1E1， △OC1D1∽△OA1F1，从而有

APSA1B1B1OEFFOCDDO， 11?1， 11?1. ?D1E1D1OB1C1B1OF1A1F1O将上面三式相乘即得引理2：

A1B1C1D1E1F1???1， B1C1D1E1F1A1B1A1C1OD1E1F1ABCDEF圆内接六边形A1B1C1D1E1F1，若满足11?11?11?1

B1C1D1E1F1A1则其三条对角线A1D1，B1E1，C1F1交于一点． 该引理的证明，留给读者思考．

例9之证明如图，连接PD，AS，RC，BR，AP，SD. 由△EBR∽△EPA，△FDS∽△FPA，知

BREBPAFP??,. PAEPDSFD两式相乘，得

BREB?FP?. ① DSEP?FD又由△ECR∽△EPD，△FPD∽△FAS，知

CRECPDFP??，. 两式相乘，得 PDEPASFACREC?FP? ② ASEP?FA由①，②得

BR?ASEB?FA?. 故

DS?CREC?FDBRCDSAEBAFDC?????. ③ RCDSABBAFDCE对△EAD应用Menelaus定理，有

EBAFDC???1 ④ BAFDCE由③，④得

BRCDSA???1. RCDSAB由引理2知BD，RS，AC交于一点，所以R，T，S三点共线．

情景再现

7．(评委会，土耳其，1995)设?ABC的内切圆分别切三边BC、CA、AB于D、E、F，X是?ABC内的一点，?XBC的内切圆也在点D处与BC相切，并与CX、XB分别切于点Y、Z，证明，EFZY是圆内接四边形．

8.若直角?ABC中，CK是斜边上的高，CE是?ACK的平分线， E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：BF//CE。

习题18

1．在四边形ABCD中，⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC的面积比是3∶4∶1，点M、N分别在AC、CD上满足AM∶AC=CN∶CD，并且B、M、N三点共线．求证：M与N分别是AC与CD的中点．(1983年全国高中数学联赛)

2．四边形ABCD内接于圆，其边AB与DC延长交于点P，AD、BC延长交于点Q，由Q作该

圆的两条切线QE、QF，切点分别为E、F，求证：P、E、F三点共线．(1997年中国数学奥林匹克）

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3．若⊿ABC的边a、b、c，所对的角为1∶2∶4，求证：=+．

abc

AAEBMCNDOEAZARQOZBDBFCYPXCQYBXCPPXP

4．如图，⊿ABC中，P为三角形内任意一点，AP、BP、CP分别交对边于X、Y、Z．求证：XAYPZP++=1 YBZC

5．(Lemoine line)从三角形的各个顶点引其外接圆的切线，这些切线与各自对边的交点共线． 6． (Desargues定理)设有△ABC、△A'B'C'，且AB与A'B'交于Z，BC与B'C'交于X，CA与C'A'交于Y．则

⑴ 若AA'、BB'、CC'三线共点，则X、Y、Z三点共线；

⑵ 若X、Y、Z三点共线，则AA'、BB'、CC'三线共点．

7．在ABC中，∠C=90°，AD和BE是它的两条内角平分线，设L、M、N分别为AD、AB、BE的中点，X=LM∩BE，Y=MN∩AD，Z=NL∩DE．求证：X、Y、Z三点共线．(2000年江苏省数学冬令营)

8．已知 在⊿ABC中，AB>AC，?A的一个外角的平分线交⊿ABC的外接圆于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F．

求证 2AF=AB-AC．（1989年全国高中数学联赛）

9．四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4．求证OP、O1O3、O2O4三直线共点．（1990年全国高中数学联赛）

10．一个战士想要查遍一个正三角形区域内或边界上有无地雷，他的探测器的有效长度等于正三角形高的一半．这个战士从三角形的一个顶点开始探测．训他应怎样的路线才能使查遍整个区域的路程最短． (1973年第十五届国际数学奥林匹克)

AO4DO3PO2OO1BCXYA'B'C'ZABCOZALXECDYMNB 11．以锐角三角形ABC的三边为边向外作三个相似三角形AC1B，BA1C、CB1A，(?AB1C=?ABC1=?A1BC；?BA1C=?BAC1=?B1AC．)

⑴ 求证：⊿AC1B、⊿B1AC、⊿CBA1的外接圆交于一点；

⑵ 证明：直线AA1、BB1、CC1交于一点．(1973年全苏数学奥林匹克)

12．⊿ABC中，O为外心，H为垂心，直线AH、BH、CH交边BC、CA、AB于D、E、F，直线DE交AB于M，DF交AC于N．求证：⑴ OB⊥DF，OC⊥DE；⑵ OH⊥MN．

本节“情景再现”解答：

1．证明：由Ptolemy定理得PA·BC=PB·AC＋PC·AB，∵AB=BC=AC． ∴PA=PB+PC．

AEDCBFAE2AF··=1 ，从而=． EDCB FA ED FBA 3． 证：记?ABC的角平分线分别是AA1,BB1,CC1,

CGBHDE

4．证明 连结BD交AC于H，对⊿BCD用Ceva定理，可得··=1．

GBHDECBHAB

因为AH是?BAD的角平分线，由角平分线定理，可得=，故

HDADCGABDE

··=1．过点C作AB的平行线交AG延长线于I，过点C作AD的GBADEC

平行线交AE的延长线于J，则

CGCIDEADCIABAD

=，=，所以，··=1． GBABECCJABADCJ

IJHBGCFEDA2．证明由Menelaus定理得

AC1bBA1cCB1a??,?,?C1BaA1CbB1AcAC1BA1CB1????1C1BA1CB1A?三角形的角平分线交于一点；B C1B1C A1从而，CI=CJ．又因CI∥AB，CJ∥AD，故?ACI=π-?BAC=π

-?DAC=?ACJ，因此，⊿ACI≌⊿ACJ，从而?IAC=?JAC，即?GAC=?EAC．

5．证明：如图，设直线LM与BA的延长线交于点J，与DC的延长线交于点I． 在△ECD与△FAB中分别使用Menelaus定理，得

EGDICHAGFHBJEGAG???1， ???1.因为AB∥CD，所以?， GDICHEGFHBJAGDGFCHFHDIBJCD?CIAB?AJ???.从而，即，故CI=AJ. 而 HEHBICJACIAJDJALGEBHMFCI