方法技巧专题(四) 构造法训练

【方法解读】构造法是一种技巧性很强的解题方法,它能训练思维的创造性和敏捷性.常见的构造形式有:(1)构造方程;(2)构造函数;(3)构造图形.

1.[2018·自贡] 如图F4-1,若△ABC内接于半径为R的☉O,且∠A=60°,连结OB,OC,则边BC的长为

( )

图F4-1

A. R

B.R

C.R

D. R

2.[2018·遵义] 如图F4-2,直角三角形的直角顶点在坐标原点,∠OAB=30°,若点A在反比例函数

y= (x>0)的图象上,则经过点B的反比例函数的解析式为 ( )

图F4-2

A.y=-

B.y=-

C.y=- D.y=

3.设关于x的一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m>0)的两根分别为α,β,且α<β,则α,β满足 ( ) A.1<α<β<2 C.α<1<β<2

B.1<α<2<β D.α<1且β>2

4.如图F4-3,六边形ABCDEF的六个内角都相等.若AB=1,BC=CD=3,DE=2,则这个六边形的周长等于 .

图F4-3

5.[2018·扬州] 如图F4-4,已知☉O的半径为2,△ABC内接于☉O,∠ACB=135°,则AB= . 图F4-4

- 6.[2018·滨州] 若关于x,y的二元一次方程组 的解是 则关于a,b的二元一次方程

- - 组 的解是 . - 7.[2018·扬州] 问题呈现

如图F4-5①,在边长为1的正方形网格中,连结格点D,N和E,C,DN和EC相交于点P,求tan∠CPN的值. 方法归纳

求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN不在

直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连结格点M,N,可得MN∥EC,则∠

DNM=∠CPN,连结DM,那么∠CPN就变换到Rt△DMN中.

问题解决

(1)直接写出图①中tan∠CPN的值为 ;

(2)如图②,在边长为1的正方形网格中,AN与CM相交于点P,求cos∠CPN的值. 思维拓展

(3)如图③,AB⊥BC,AB=4BC,点M在AB上,且AM=BC,延长CB到点N,使BN=2BC,连结AN交CM的延长线于点P,用上述方法构造网格求∠CPN的度数.

F4-5

图

参考答案

1.D [解析] 如图,延长CO交☉O于点D,连结BD,

∵∠A=60°,∴∠D=∠A=60°. ∵CD是☉O的直径, ∴∠CBD=90°.

在Rt△BCD中,sinD= = =sin 60°= , ∴BC= R.故选D.

注:此题构造了直角三角形.

2.C [解析] 如图,过点A作AM⊥x轴于点M,过点B作BN⊥x轴于点N. 由三垂直模型,易得△BNO∽△OMA,相似比等于,在Rt△AOB中,∠OAB=30°,

所以 =tan 30°= ,所以 因为点A在双曲线y= 上,

△

△

= .

所以S△OMA=3,所以S△BNO=1,所以k=-2.

即经过点B的反比例函数的解析式为y=- .故选C.

注:此题构造了相似三角形.

3.D [解析] 一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m>0)的两根实质上是抛物线y=(x-1)(x-2)与直线y=m两个交点的横坐标.如图,显然α<1且β>2.故选D.

注:此题构造了二次函数.

4.15 [解析] 分别将线段AB,CD,EF向两端延长,延长线构成一个等边三角形,边长为8,则EF=2,AF=4,故所求周长=1+3+3+2+2+4=15. 注:此题构造了等边三角形.

5.2 [解析] 如图,在优弧AB上取一点D,连结AD,BD,OA,OB, ∵☉O的半径为2,△ABC内接于☉O,∠ACB=135°, ∴∠ADB=45°,∴∠AOB=90°. ∵OA=OB=2,∴AB=2 . 故答案为2 .

注:此题构造了直角三角形.

6. [解析] 根据题意,对比两个方程组得出方程组 - 所以

注:此题构造了一个二元一次方程组.

7.[解析] (1)根据方法归纳,运用勾股定理分别求出MN和DM的值,即可求出tan∠CPN的值; (2)仿(1)的思路作图,即可求解;

(3)利用网格,构造等腰直角三角形解决问题即可. 解:(1)由勾股定理得:DM=2 ,MN= , DN= .

∵(2 )+( )=( ), ∴DM+MN=DN, ∴△DMN是直角三角形. ∵MN∥EC,∴∠CPN=∠DNM. ∵tan∠DNM= ==2, 2

2

2

2

2

2

∴tan∠CPN=2.

(2)如图,取格点D,连结CD,DM. ∵CD∥AN,∴∠CPN=∠DCM. 易得△DCM是等腰直角三角形, ∴∠DCM=45°,

∴cos∠CPN=cos∠DCM=cos 45°= .

(3)构造如图网格,取格点Q,连结AQ,QN.

易得PC∥QN,∴∠CPN=∠ANQ.∵AQ=QN,∠AQN=90°,∴∠ANQ=∠QAN=45°, ∴∠CPN=45°. 真理惟一可靠的标准就是永远自相符合。 —— 欧文 土地是以它的肥沃和收获而被估价的；才能也是土地，不过它生产的不是粮食，而是真理。如果只能滋生瞑想和幻想的话，即使再大的才能也只是砂地或盐池，那上面连小草也长不出来的。 —— 别林斯基 我需要三件东西：爱情友谊和图书。然而这三者之间何其相通！炽热的爱情可以充实图书的内容，图书又是人们最忠实的朋友。 —— 蒙田

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