1-2-1-3 等差数列应用题.教师版 下载本文

若第四名为82+1=83分,则第一名为83+(4-1)×2=89分,不符合题意,舍; 若第四名为82+2=84分,则第一名为84+(4-1)×4=96分,不符合题意; 若第四名为82+3=85分,则第一名为85+(4-1)×6=103分,不符合题意。 因此,第四名为84分,公差为4,所以第三名为84+4=88分

【答案】88

【例 19】 若干个同样的盒子排成一排,小明把50多个同样的棋子分装在盒中,其中只有一个盒子没有装棋子,

然后他外出了,小光从每个有棋子的盒子里各拿了一个棋子放在空盒内,再把盒子重新排了一下,小明回来后仔细查看了一下,没有发现有人动过这些盒子和棋子.共有多少个盒子?

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 这道看似蹊跷的题想要求出共有多少个盒子,必须先弄清楚小明盒子中的棋子是怎样放的.

我们设除了空盒子以外一共有n个盒子.小明回来查看时,原来那个空盒子现在不空了,但是小明却没有发现有人动过这些盒子和棋子,那么一定是有另一个盒子现在变成了空盒子.这样,原来小明放置棋子时必有一个盒子只装着一个棋子.

原来只装着一个棋子的盒子变成了空盒子以后,还需要一个盒子装一个棋子来代替它,那么这个代替它的盒子原来一定只装着2个棋子,依此类推,可以推断出小明所放的棋子依次是0,1,2,3,L,n.

根据这个等差数列的和等于50多,通过尝试求出当n?10时,1?2?3?L?10?(1?10)?10?2?55 满足题意,其余均不满足.这样,只能是n?10,即共有11个盒子.

【答案】11

【例 20】 某工厂12月份工作忙,星期日不休息,而且从第一天开始,每天都从总厂陆续派相同人数的工人到

分厂工作,直到月底,总厂还剩工人250人.如果月底统计总厂工人的工作量是9455个工作日(1

人工作1天为1个工作日),且无1人缺勤.那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有多少人.

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】迎春杯,决赛

【解析】 260人工作31天,工作量是260?31?8060(个)工作日.假设每天从总厂派到分厂a个工人,

第一天派去分厂的a个工人在总厂的工作量为0个工作日; 第二天派去分厂的a个工人在总厂的工作量为a个工作日; 第三天派去分厂的a个工人在总厂的工作量为2a个工作日;

……

第31天派去分厂的a个工人在总厂的工作量为30a个工作日. 从而有:9455?0?a?2a?3a?L?30a?8060

求得a?3.那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有3?31?93(人).

【答案】93

【例 21】 右图中,每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米,边长是1根火柴棍.如果最大的三角形共有

8层,问:⑴最大三角形的面积是多少平方厘米?⑵整个图形由多少根火柴棍摆成?

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 最大三角形共有8层,从上往下摆时,每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表:

层 小三角形数 火柴数 1 1 3 2 3 6 3 5 9 4 7 12 5 9 15 6 11 18 7 13 21 8 15 24 由上表看出,各层的小三角形数成等差数列,各层的火柴数也成等差数列.

(1?3?5?L?15)?12?(1?15)?8?2?12?768(平方厘米). ⑴ 最大三角形面积为:

(3?24)?8?2?108(根). ⑵ 火柴棍的数目为:3?6?9?L?24?【答案】⑴768 ⑵108

【巩固】 如右图,25个同样大小的等边三角形拼成了大等边三角形,在图中每个结点处都标上一个数,使得图

中每条直线上所标的数都顺次成等差数列.已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是100,200,

300.求所有结点上数的总和.

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】走美杯

【解析】 如下图,各结点上放置的数如图所示.从100到300这条直线上的各数的平均数是200,平行于这条

直线的每条直线上的各数的平均数都是200.所以21个数的平均数是200,总和为200?21?4200.

【答案】4200

【巩固】 用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形,按图所示铺满一个大的等边三角形,

如果这个大的等边三角形的底边放10根火柴,那么一共要放多少根火柴?

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 如果把图中最上端的一个三角形看作第一层,与第一层紧相连的三个三角形(向上的三角形2个,向下

的三角形1个)看作第二层,那么这个图中一共有10层三角形.

这10层三角形每层所需火柴数就是构成上图中所有阴影三角形的边数和.自上而下依次为:3,6,9,……,3?10.它们成等差数列,而且首项为3,公差为3,项数为10. 求火柴的总根数,就是求这个等差数列各项的和,即

3?6?9?L?30?(3?30)?10?2?33?5?165(根)

所以,一共要放165根火柴

【答案】165

【例 22】 盒子里放有编号1~9的九个球,小红先后三次从盒子中取球,每次取3个,如果从第二次起每次取

出的球的编号的和都比上一次的多9,那么他第一次取的三个球的编号为_____.

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】走美杯,3年级,初赛

【解析】 根据题意知道这九个小球的编号和为:1?2?3?LL?9?45,若想每次去球都比上一次的多9,则

从数论角度来看本题就是将45拆三个数字和,并且三个数字和的公差为9,所以第一次取球为

?45?9?9?2??3?6,所以第一次去的3个求的编号为:1、2、3.

【答案】1、2、3.

【例 23】 小明练习打算盘,他按照自然数的顺序从1开始求和,当加到某一个数的时候,和是1997,但他发

现计算时少加了一个数,试问:小明少加了哪个数?

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

(1?n)?n?2,(1?n)?n?3994?2x,两个相邻的自然数的【解析】 用x表示小明少加的那个数,1997?x?(1?n)?n和n2比较接近,可以先找3994附近的平方数,最明显的要数积比3994大一些,因为

3600?60?60,而后试算两个相邻自然数的乘积61?62?3782,62?63?3906,63?64?4032,

所以n?63,正确的和是2016,少加的数为:2016?1997?19.

【答案】19

【例 24】 黑板上写有从1开始的一些连续奇数:

1,3,5,7,9,…,

擦去其中一个奇数以后,剩下的所有奇数的和是2008,那么擦去的奇数

是 .

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】走美杯

【解析】 1,3,5,7,L,(2n?1),这n个奇数之和等于n2,452?2025,擦去的奇数是2025?2008?17.

【答案】17

【巩固】 小明住在一条胡同里.一天,他算了算这条小胡同的门牌号码.他发现,除掉他自己家的不算,其余

各门牌号码之和正好是100.请问这条小胡同一共有多少户(即有多少个门牌号码)?小明家的门牌号

码是多少?

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 这道题目的具体数值只有一个,所以我们要通过估算的方法解决问题!我们都知道:

1?2?L?10?55,所以和在100附近的应该为1~14、或1~15,

⑴1?2?L?14?105,小明家门牌号为5,共有14户人家;

⑵1?2?L?14?15?120,小明家门牌号为20,不再1~15的范围,所以不符合题意.

【答案】共有14户人家;门牌号为5

【例 25】 在51个连续的奇数1,3,5,LL,101中选取k个数,使得它们的和为1949,那么k的最大值是

多少?

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】华杯赛,决赛,第二大题,第4题,10分 显然,选的数越小,可以使选出的数的个数越多。 【解析】

首先考虑从45个连续的奇数1,3,5,7,…,99中选出n个数,使它们的和不超过1949。

2由1?3?5?L??2n?1??n得n2≤1949。

因为452?2025>1949,且45个奇数的和不小于1?3?5?L?89?2025>1949,所以n≤44。 若选取44个奇数,因为偶数个奇数的和为偶数,而1949为奇数,所以不可能选取44个奇数, 使得它们的和为1949。所以n≤43。

因为442?1936<1949,2025-1949=76,且76是偶数,

所以至少从1,3,5,…,89中删除两个奇数,并使它们的和为76。

如,去掉1,3,5,…,89中的两个奇数37和39,即选1,3,…,35,41,…,87,89。 易验证1?3?5?L?35?41?43?L?89?2025?76?1949。 所以n的最大值为43。

【答案】43

【例 26】 小丸子玩投放石子游戏,从A出发走1米放1枚石子,第二次走4米又放3枚石子,第三次走7米

再放5枚石子,再走10米放7枚石子,L照此规律最后走到B处放下35枚石子.问从A到B路程

有多远?

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 先计算投放了多少次.由题意依次投放石子数构成的数列是:1,3,5,7,L,35.这是一个等差数

35,那么n?(an?a1)?d?1?(35?1)?2?1?18;再看列,其中首项a1?1,公差d ?2,末项an= 投放石子每次走的路程依次组成的数列:1,4,7,10,这又是一个等差数列,其中首项a1,?1,公差

(n?1)?d,?1?(18?1)?3?52,其和为d,?3,项数n?1 8.末项an,?a1,?,Sn,?(a1,?an)?n?2?(1?52)?18?2?477(米).

【答案】477

【例 27】 如图,把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图,其中黑白相间染色.如果最底层有15个正方形,

问其中有多少个染白色的正方形,有多少个染黑色的正方形?

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 由题意可知,从上到下每层的正方形个数组成等差数列,其中a1?1,d ?2,an?15,所以

n?(15?1)?2?1?8,所以,白色方格数是:1?2?3?L?8?(1?8)?8?2?36

(1?7)?7?2?28. 黑色方格数是:1?2?3?L?7?【答案】28

【巩固】 有若干根长度相等的火柴棒,把这些火柴棒摆成如下图的图形.照这样摆下去,到第10行为止一共

用了 根火柴棒.

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】小机灵杯

【解析】 横向:1行:1?1根; 【解析】 2行:1?3?3根; 【解析】 3行:1?3?5?5根; 【解析】 L 【解析】 10行:1?3?5?L17?19?19

纵向:1行:2根;

2行:2?4根; 3行:2?4?6根;

L

10行:2?4?6?L?20根

总共有(1?3?5?L17?19)?19?(2?4?6?L?20)(?1?19)?10?2?19?(2?20)?10?2

?100?19?110?229(根).

【答案】229

【例 28】 如图所示,白色和黑色的三角形按顺序排列.当两种三角形的数量相差12个时,白色三角形有 【例 29】 个.

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】中环杯,初赛

【解析】 根据题意可知,每个图形两种三角形的个数相差依次成数列1,2,3,4,L排列,所以第12个图

形的两种三角形的个数相差为12,这个图形的白色三角形的个数是1?2?3?L?11?66(个).

【答案】66

【例 30】 木木练习口算,她按照自然数的顺序从1开始求和,当计算到某个数时,和是888,但她重复计算

了其中一个数字.问:木木重复计算了哪个数字?

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

(1?n)?n?2,(1?n)?n?1776?2x ,两个相邻的自然数的【解析】 用x表示木木多加的那个数,888?X?积是比1776小一些的一个数,先找1776附近的平方数,1600?40?40 ,试算:40?41?1640,

41?42?1722 ,42?43?1806 ,所以n?41,所以

x?(1776?41?42)?2?27.

【答案】27

【巩固】 奋斗小学组织六年级同学到百花山进行野营拉练,行程每天增加2千米.已知去时用了4天,回来时

用了3天.问:学校距离百花山多少千米?

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 这道题目关键是弄清题意,发现关键是要求出第一天拉练的距离,在这里可以用方程的思想来帮助解

题,可以给四年级学生一个方程的初步认识,来回的距离是相同的,通过这点来做方程求解,设第一天拉练的距离是x,则第二天为x?2,第三天为x?4,第四天x?6,第五天的距离为x?8,第六