不妨设c=t，a=2t，即又△F1PF2面积取最大值即点P为短轴端点，因此

，其中t＞0， 时，

，解得t=1，

则椭圆的方程为；

（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立

可得（3+4t）y+6ty﹣9=0，

2

2

则，，

直线AA1的方程为

，

直线BA1的方程为

，

令x=4，可得，，

则，，

即有，

即为定值0．

【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线的相关知识，以及恒过定点问题．本题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求．

22．（12分）（2016?顺义区一模）已知函数f（x）=xe+ax+2x+1在x=﹣1处取得极值． （1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围． 【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

x2x2

（2）问题等价于xe+x+2x=m在[﹣2，2]上恰有两个不同的实根．令g（x）=xe+x+2x，求出函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出m的范围即可．

xx

【解答】解：（1）f'（x）=e+xe+2ax+2，

x

2

∵f（x）在x=1处取得极值，

∴f'（﹣1）=0，解得a=1．经检验a=1适合，

x2x

∴f（x）=xe+x+2x+1，f'（x）=（x+1）（e+2），

当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）递减； 当x∈（﹣1+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，+∞）递增． （2）函数y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有两个不同的零点， 等价于xe+x+2x﹣m=0在[﹣2，2]上恰有两个不同的实根，

x2

等价于xe+x+2x=m在[﹣2，2]上恰有两个不同的实根．

x2x

令g（x）=xe+x+2x，∴g'（x）=（x+1）（e+2），

由（1）知g（x）在（﹣∞，﹣1）递减； 在（﹣1，+∞）递增． g（x）在[﹣2，2]上的极小值也是最小值；

．

又∴

，g（2）=8+2e＞g（﹣2），

，即

．

2

x

2

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一

道中档题．