（ ）×（ ）=24

1,2,3,?

这时不仅要考虑积是24的乘法口诀，而且要找出积是24的其它乘法算式。因此，在第一组括号里应该试填1，2，3，4，直至该数自乘超过24（5×5＞24）为止。两个括号里可以填入的所有的数都是24的因数。

57 “倍”和“倍数”有什么不同？说“5是4的1.25倍”、或者“5是4的倍数”对吗？

【倍的意义】 如果a=kb，（k是一个数）就说“a是b的k倍。”这里的k可以是整数，也可以是小数、分数或无理数。a、b可以是两个数，也可以是两个同类的连续量或离散量。并且习惯上上述说法用于k≥1的场合。

【倍数的意义】如果a、b、q都是整数，并且a=bq，则称“a是b的倍数”、“b是a的因数”。当然也可以说“a是q的倍数”、“q是a的因数”。

“倍”和“倍数”虽然都是乘法算式引伸出来的概念，但前者是有理数集、实数集上的乘法，后者则是整数集上的乘法。

如5=1.25×4，因此，我们可以说“5是4的1.25倍”，也可以说“5是1.25的4倍”。但不能说“5是4的倍数”或“5是1.25的倍数”。

58 “约数”和“因数”有什么区别和联系？

倍数和约数是两个整数有整除关系时，引伸出来的概念：若b整除a，则称b为a的约数，a为b的倍数。“（ ）能被（ ）整除”、“（ ）整除（ ）”、“（ ）是（ ）的约数”、“（ ）是（ ）的倍数”指的是两个整数之间的同一种关系。因数是与实数乘法有关的一个概念：设a、b、c都是实数，若a=b×c，则a叫做b与c的积，b叫做被乘数，c叫做乘数。被乘数与乘数都叫做积的因数。

例如，4.2=2.1×2，4.2是2.1与2的积，2.1和2都是4.2的因数。

又如，26?23?2，26是23与2的积，23与2都是26的因数。

把因数的概念用于整数乘法。如32=4×8，32是4与8的积，4与8都是32的因数。当然，4与8也都是32的约数。

由于整除除法与整数乘法可以相互转化，即a?b?c等价于b|a，所以在讨论整除问题时，有人不再区分约数和因数。

59 单数、双数与奇数、偶数有什么区别和连系？

【偶数】【双数】能被2整除的整数叫做偶数。偶数有正偶数、负偶数和零。正偶数也叫双数。双数就是能被2整除的正整数。

偶 数

?，－6，－4，－2，0，2，4，6，?

负偶数 正偶数（双数）

- -

41

零不是双数；零是偶数，但不是最小的偶数。

偶数就是2的倍数。但有关“公倍数”与“最小公倍数”的概念往往只涉及正的倍数。因此，我们通常认为：最小的偶数不存在，但2的最小的倍数是2。（参看A2-30）

【奇数】【单数】不能被2整除的整数叫做奇数。正奇数也叫单数。可见，单数就是不能被2整除的正整除。

【整数的奇偶性的判定】判定一个整数究竟是奇数还是偶数，可以根据“奇数”、“偶数”的定义，并且运用“能被2整除的数的特征。”

凡个位上是0、2、4、6、8的整数都是偶数； 凡个位上是1、3、5、7、9的整数都是奇数。 【奇数与偶数的性质】

（1）两个奇数的和或差都是偶数。 （2）两个偶数的和或差都是偶数。

（3）一个奇数与一个偶数的和或差都是奇数。 （4）两个奇数的积还是奇数。

（5）一个奇数与一个偶数的积或者两个偶数的积都是偶数。

60 “最小的质数”、“最小的偶数”与“最小的倍数”各指什么？为什么“0是任何一个整数的倍数”，但不是几个整数的最小公倍数？

【最小的质数】【偶质数】质数中最小的一个叫做“最小的质数”。最小的质数是2。它是唯一能被2整除的质数，所以又叫“偶质数”。

如果把“偶数”定义为能被2整除的整数，则“偶数”应包括正偶数、负偶数和零。“最小的偶数”不存在。

既使对于“能被2整除的自然数”而言，其中最小的是0，而不是2。 小学数学定义倍数时，小学生还没有负数的概念：

a ×（ ）=（ ）

┆ ┆

自然数 a的倍数

所以，在a的倍数中，最小的是零。于是，几个数的公共的倍数中最小的也必然是零。但是0不能作为几个分数的公分母，所以这样的“最小公倍数”在异分母分数的加减法中毫无用处。因此，在“倍数”、“公倍数”与“最小公倍数”的序列定义中，应该在适当的地方把零排除。

方案一：在定义“倍数”时，就将零排除：“自然数a与任何一个正整数1，2，3，?的乘积都称之为a的倍数。”因此，在a的倍数中，最小的一个是a。

然后，定义公倍数与最小公倍数：“几个数的公共的倍数称为这几个数的公倍数。” “几个数的公倍数中最小的一个称为这几个数的最小公倍数。” 方案二：定义“公倍数”时排除零。

“自然数a与任何一个自然数的乘积都叫做a的倍数。”因此，在a的倍数中最小的是零“几个数的零以外的公共的倍数叫做这几个数的公倍数。”

- -

42

“几个数的公倍数中，最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。” 方案三：定义“最小的公倍数”时才排除零。

“自然数a与任何一个自然数的乘积都叫做a的倍数”。因此，a的最小的倍数是0。 “几个数的公共的倍数叫做这几个数的公倍数。”因此，零总是几个数的公倍数。 “几个数的公倍数中，零以外的最小的那一个叫做这几个数的最小公倍数。” 以上三个方案中，似乎方案二更便于小学生理解。

经过这样的规定，使得零虽然是任何一个整数的倍数，但不是几个整数的最小公倍数。

61 为什么说：“偶数都是合数”、“质数都是奇数”都是错误的？

在整数中，奇数、偶数是以它是否能被2整除来定义的。能被2整除的整数叫偶数，不能被2整除的整数叫做奇数。

质数与合数是以一个自然数约数的个数来区别的、一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数；如果除了1和它本身，还有别的约数，这个数就叫做合数。

可见，这两组概念定义的标准不同。奇数不一定是质数。例如，9、21、33??都是奇数，但它们都不是质数，而是合数；质数也不一定是奇数。如2是质数，但它不是奇数。当然，除2以外的质数都是奇数。偶数不一定是合数，如2是偶数，但不是合数，而是质数；合数也不一定是偶数，例如：15、27、39??都是合数，但不是偶数，而是奇数，当然，除2以外的偶数都是合数，2是质数中唯一的偶数。

综上所述可知，“偶数都是合数”、“质数都是奇数”都是错误的。 关于这个问题，用逻辑学的知识可以简短地回答如下：

因为“有些偶数（如2）不是合数”，所以说“（所有的）偶数都是合数”是错误的。 因为“有些质数（如2）不是奇数”，所以说“（所有的）质数都是奇数”是错误的。

一般地说，特称否定判断“有些a不是b”真，则全称肯定判断“所有a都是b”假；“有些a不是b”假，则“所有a都是b”真。

事实上，如果a、b这两个概念的外延都不是空集。那么这两个概念的外延之间可能有以下五种关系：（图1-10 ）

a b a ,b a b a b a b (1) (2) (3) (4) (5)

所有a是b 有些a不是b

图1-10

当a、b的外延关系是图（1）或图（2）时，“所有a是b”真，“有些a不是b”假；当a、b的外延关系是图（3）、图（4）或图（5）时，则“所有a是b”假，“有些a不是b”真。

62 为什么1既不是质数、也不是合数？

人们在研究正整数的分类时，按它的正约数个数的多少，作出了如下分类： ·只有一个正约数的正整数。这样的正整数只有一个，那就是“1”；

正整数 1 质数 合数 - -

43 ·除1和自身两个正约数外，没有其它正约数的正整数（叫做质数）；

·除1和自身外，还有其它正约数的正整数（叫做合数）。（如图1-11） 图1-11 如果将1视为质数，那么将合数分解为质因数的积时将带来混乱。例如，将合数18分解质因数的结果就不是唯一的，而可以是下面的许多种结果：

18=2×3×3 18=1×2×3×3 18=1×1×2×3×3 ??

一个合数分解质因数时，如果有许多结果，那么将给分解本身以及分解的目的——求几个不同正整数的最大公约数和最小公倍数带来混乱。

如果将1视为合数，那么把这个合数分解质因数时，永远实现不了“分解”的目标，也就是永远达不到“把这个数表示为更小的正因数相乘的积”的目的。

因此，人们规定：“1”既不是质数，也不是合数。

63 怎样判定一个数是不是质数？怎样把一个合数分解质因数？

【质数】【素数】一个大于1的整数，如果除1和本身外，不能被其它正整数整除，这个数就称为“质数”，又称“素数”。如2，3，5，7，?都是质数。

【质数的判定方法】为了判定一个数是不是质数，可以用下面的方法。 一、试除法。

如47是不是质数？可以根据质数的定义，看它是不是除1和47外，不再有其它的约数。为此，可以分别用质数2，3，5，7，?去试除47，看看能不能整除它。

一般地，为了判定自然数N是不是质数，可以从小到大分别用质数p1，p2，?，pn去试除N。如果有pn|N，则N是合数；如果p1,p2,?,pn都不能整除N，pn≥N，则可断定N是质数。

在上面的例子中，2，3，5，7都不能整除47，7＞47。因此可以断定：47是质数。 二、查质数表。

公元前300年左右，爱拉托斯散用“筛法”制定了最早的质数表。1909年莱茉（D. N. Lehmer）用改进的筛法编制了不超过107的质数表。1977年，查基尔（D. B. Zagier）用电子计算机编制了不超过5×107的质数表。

有了质数表，要判断一个数是不是质数，可以去查范围包括了这个数的质数表。如果这个数出现在表内，则它是质数；如果表内找不到它，则它是合数。书后所附的表就是1000以内的质数表。（参看本书P. ）

公元前300年，欧几里得在它的《几何原本》第九卷中用反证法巧妙地证明了“质数有无穷多个”。即“质数没有最大的”。大质数的检验是十分困难的。截至本世纪初，人们已经知道的最大的质数是225964951－1，它有780多万位，是德国的一位眼科医生、数学爱好者马丁·诺瓦克发现的。

关于质数在自然数列中的分布，有许多著名的猜想。其中大多数至今尚未证明或证伪。

- -

44