这三个运算的另三种运算顺序可分别表达为：

三个运算的六种不同的运算顺序只需平均用一对括号就能表达清楚。如果没有这些规定，那么为了说明上述每一个算式中三个运算的顺序平均得用两对括号。

至于为什么要规定“从左到右”，而不是“从右到左”，可能是为了使这种没有括号并且只有加、减法或者只有乘、除法的算式的运算顺序与算式的书写顺序相同。于是?[(a?b)?c]?d??e中的括号可以全部省略，而把这个算式写成a?b?c?d?e；但算式a??b?[c?(d?e)]?要保持原定的运算顺序，其中的三对括号一对也不能省。

规定了“先乘除，后加减”之后，（15×4）＋（16÷4）中的括号可以省略，把它写成15×4＋16÷4；而（15＋4）×（16－4）中的括号就不能省。如果当初的规定不是“先乘除、后加减”，而是“先加减、后乘除”，则前一算式中的括号不能省，后一算式中的括号可以省去。

“从左到右”和“先乘除、后加减”都不是以客观规律为基础的定理或定律，而是一种有关数学符号语言的人为的规定，目的在于尽可能减少算式中为说明各个运算的顺序所用的括号。

49 为什么两个数相除，如果商不是整数和有限小数，就一定是循环小数？

做除法时，如果除到个位还除不尽，可以在余数后面添0再除，得商的小数部分各位上的数。这些数中每个数的大小都取决于前次除得的余数。因为每次做除法的余数，都必须是小于除数的正整数，而小于除数的正整数只有有限个。所以除法做了若干次之后，就会出现相同的余数。余数出现了相同的，那就表明：商的小数部分的下一个循环即将开始，如22÷7=3.142857的演算过程如下： 3.1 4 2 8 5 7 1

2 2 7 2 1

余1 ? 1 0 ?商1

7 3 0 ?商4 余3?

2 8

2 0 ?商2 余2?

1 4 6 0 ?商8 余6?

5 6 4 0 余4? ?商5 3 5 ?商7 5 0 余5?

4 9 ?商1 1 0 余1 ?

可见，两个数相除，如果商不是整数和有限小数，那么商就一定是循环小数。

??50 怎样化分数为小数？为什么有些分数能化为有限小数，有些分数不能化为有限小数？

- -

37

如果一个分数的分母只含有质因数2或5，那就可以根据分数的基本性质把它的分母化为10的正整数次幂，从而先把它化为十进分数，再化为小数。如

77?52175?3??0.175 402?5?52103也可以用分子除以分母的办法，把这个分数化为小数。

0.175

407 0

事实上，对于任何分数，都可以用分子除以分母的办法把它化为小数。分子除以分母时，如果能除尽，则分数被化为有限小数；如果除不尽，则分数被化为（无限）循环小数。

为了辨别这两种情况，可以先把分数化为最简分数。如果最简分数的分母含有2、5以外的质因数，则此分数不能化为十进分数，也就不能化为有限小数。这时，如果用分子除以分母，结果必然除不尽，得不到整数或有限小数，只能得到无限循环小数。（参看本书第 页）

4 0

3 0 0 2 8 0 2 0 0 2 0 0

0

51 为什么一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化为有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数？

因为2与5的积是10，所以分母只含有2和5的分数能转化成分母是10、100、1000??的分数；如果分母含有2和5以外的质因数，那么这个分数就不能化为分母是10、100、1000??的分数，从而不能化为有限小数。所以一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。

52 怎样化小数为分数？

【化有限小数为分数】化有限小数为分数，可先把它改写成十进分数，然后化为最简分数。 例 4.8?484123?4 0.012?? 1051000250【化纯循环小数为分数】纯循环小数的小数部分化成分数，分子是一年循环节的数字所组成的数；分母是由数字9组成的数，9的个数等于一个循环节的位数。

????62370104816?7?例 16.6?16?16 7.370?7 0.048?

9399927999333【化混循环小数为分数】混循环小数的小数部分化成分数，分子是小数点右边第一个数字到第一个循环节末位的数字组成的数（即第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数），减去不循环数字组成的数所得的差；分母是由数字9后面带数字0组成的数，其中9的个数等于循环节的位数，0的个数等于小数部分不循环部分的位数。

- -

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例：0.309?309?330617?? 99099055?264?2623811916.264?16?16?16

900900450??53 “整除”、“约数”（“因数”）和“倍数”在小学数学中的解释和在《数论》中的定义有什么不同？

【整除在数论中的定义】“整除”是数论中的一个最基本的概念。

任给两个整数a、b，其中b≠0，如果有一个整数c，使a=bc，就称b整除a，记作b│a。这时，b叫做a的约数（或因数），a叫做b的倍数。

【整除在小学数学中的解释】

以往的版本：整数a除以整数b（b≠0），商是整数而没有余数，就说“a能被b整除”，也可以说“b整除a”。

如果a能被b整除，a就叫做b的倍数，b叫做a的约数（或a的因数）。

当前的版本：根据4×3=12，4是12的因数，3也是12的因数。12是4的倍数，12也是3的倍数。 从以上的对比可以看到：

（1）“整除”、“约数”（“因数”）和“倍数”在数论中的定义和在小学数学中的解释基本上是一致的。 （2）以前的小学数学是先定义“整除”，再用整除来定义“约数”（“因数”）和“倍数”。

当前的小学数学回避了“整除”，直接用整数乘法来解释“因数”和“倍数”的意义，而且只用具体数目的例证来说明，没有一般性的解释，对学生抽象思维能力的要求比过去低，不利于对学生思维的训练和抽象概括能力的培养。

54 怎样判断一个自然数能不能被2，3，5，7，9，11，13整除？

（1）能被2或5整除的数的特征是它的个位数能被2或5整除。

因为任何自然数都可以表示为它的个位数与另一个整十数的和，整十数必然能被2和5整除，所以这个自然数能否被2或5整除就取决于它的个位数能否被2或5整除。

（2）能被4或25整除的数的特征是它的末两位数能被4或25整除。（证明同上。） （3）能被8或125整除的数的特征是它的末三位数能被8或125整除。（证明同上。） （4）能被3或9整除的数的特征是它的各位上的数的和能被3或9整除。设

N?a0?a1?10?a2?102?a3?103??

?a0?a1(1?9)?a2(1?99)?a3(1?999)??

=(a0?a1?a2?a3??)?(9a1?99a2?999a3??)

显然，后一组数的和能被3和9整除。因此，N能否被3或9整除，就取决于前一组数的和能不能被3或9整除。

（5）能被7、11或13整除的数的特征是它的末三位数与末三位以前的数字所组成的数相减之差能被7、11或13整除。

- -

39

设自然数N的末三位数是a，末二位以前的数字所组成的数是b。则当a＞b时，

N?1000b?a?1001b?(a?b)；

当a＜b时，

N?1000b?a?1001b?(b?a)。

因为7、11、13 |1001，所以7，11，13|1001b。因此，N能不能被7、11或13整除。就取决于a－b能不能被7，11或13整除。

（6）能被11整除的数的特征是这个数奇位上的数的和与偶位上的数的和相减的差能被11整除。设

N?a0?a1?10?a2?102?a3?103?a4?104?a5?105??

?a0?a1?(11?1)?a2?(99?1)?a3?(1001?1)?a4?(9999?1)?? ?(a0?a1?a2?a3?a4??)?(11a1?99a2?1001a3?9999a4??)

显然，后一组数的和能被11整除，所以N能否被11整除就取决于前一组数的和能不能被11整除。

55 “整除”与“除尽”有什么区别和联系？

在小学阶段，“整除”是在自然数范围内讨论的。如果自然数a除以正整数b所得的商为自然数，而余数为零，则称a能被b 整除，或b整除a，记作b|a，否则，就称a不能被b整除或b不能整除a。记作b a。如8|32、－4|16、4|（－12），等等。

讨论整除问题，着眼点是两个整数是否具有整除关系，以及除得的余数，而不太关心商，由此“绕过”大数的除法运算，直接通过整除关系或余数的讨论解决相关问题。

“除尽”是在讨论整数或小数的除法时出现的一个概念。如果数a除以数b（b≠0）所得的商是整数或有限小数，则称a能被b除尽。如16÷5=3.2，1.4÷0.2=7，32÷8=4，都是除尽的例子。

可见，除尽包含了整除。b整除a时，a÷b一定能除尽。整除只是除尽的一种特殊情况。如果除尽时，被除数、除数和商都是整数，那么它也就是整除。或者说：整数除法如果除到个位时就能除尽，那么它也就是整除。

56 怎样求一个数的所有的倍数和因数？

因为现行小学数学教材是用整数乘法算式来解释因数和倍数，所以，我们应该从乘法算式出发，去寻求一个数的所有的倍数和因数。

例如，为了求7的所有的倍数，考虑含有7的乘法算式：

7×（ ）=（ ）

1,2,3,? 7的倍数

当等号左边的括号里分别填入1，2，3，?时，等号右边括号里的积都是7的倍数。

为了求24的所有的因数，则需考虑积是24的乘法算式：

24的因数

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