∴D1（2，）；

②当D点在AC下方时，

∵∠D2AC=∠D2AM+∠MAC=45°，且∠AMH=∠D2AM+∠AD2M=45°， ∴∠MAC=∠AD2M． ∴tan∠AD2H=tan∠MAC=． 在Rt△D2AH中，D2H=∴D2（2，﹣12）．

综上所述：D1（2，）；D2（2，﹣12）．

．

点评： 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，一次函数的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键，灵活运用等腰直角三角形的性质求解是难点．

25．（14分）（2014?浦东新区二模）如图，已知在△ABC中，AB=AC，BC比AB大3，sinB=，点G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点D．过点G的直线分别交边AB于点P、交射线AC于点Q． （1）求AG的长；

（2）当∠APQ=90°时，直线PG与边BC相交于点M．求

的值；

（3）当点Q在边AC上时，设BP=x，AQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．

考点： 相似形综合题．

分析： （1）根据已知条件和重心的性质得出BD=DC=BC，AD⊥BC，再根据sinB=

=，求出AB、BC、AD

的值，从而求出AG的长； （2）根据∠GMD+∠MGD=90°和∠GMD+∠B=90°，得出∠MGD=∠B，再根据特殊角的三角函数值求出DM、CM=CD﹣DM的值，在△ABC中，根据AA求出△QCM∽△QGA，即可求出

的值；

=

，求出BE的

（3）过点B作BE∥AD，过点C作CF∥AD，分别交直线PQ于点E、F，则BE∥AD∥CF，得出

值，同理可得出CF的值，最后根据BD=CD，求出EG=FG，即可得出CE+BE=2GD，从而得出求y关于x的函数解析式并得出它的定义域． 解答： 解：（1）在△ABC中， ∵AB=AC，点G是△ABC的重心， ∴BD=DC=BC， ∴AD⊥BC． 在Rt△ADB中， ∵sinB=

=，

∴=．

∵BC﹣AB=3， ∴AB=15，BC=18． ∴AD=12． ∵G是△ABC的重心， ∴AG=AD=8．

（2）在Rt△MDG， ∵∠GMD+∠MGD=90°， 同理：在Rt△MPB中，∠GMD+∠B=90°， ∴∠MGD=∠B． ∴sin∠MGD=sinB=，

在Rt△MDG中，∵DG=AD=4， ∴DM=

，

，

∴CM=CD﹣DM=

在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD． ∵∠QCM=∠CDA+∠DAC=90°+∠DAC，

又∵∠QGA=∠APQ+∠BAD=90°+∠BAD， ∴∠QCM=∠QGA， 又∵∠CQM=∠GQA， ∴△QCM∽△QGA． ∴=

=

．

（3）过点B作BE∥AD，过点C作CF∥AD，分别交直线PQ于点E、F，则BE∥AD∥CF． ∵BE∥AD，∴=∴BE=同理可得：∴CF=

． =

，即．

=

，

，即

=

，

∵BE∥AD∥CF，BD=CD， ∴EG=FG． ∴CE+BE=2GD，即∴y=

，（0≤x≤

）．

+

=8，

点评： 此题考查了相似形的综合，用到的知识点是重心、特殊角的三角函数值、相似三角形的判定与性质、平行线的性质等，关键是根据题意，画出图形，做出辅助线，构造直角三角形是本题的关键．