基本内容 备注 第四节 对换 对换的定义：在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换． 将相邻两个元素对调,叫做相邻对换． 例：a1?alabb1?b ——a1?albab1?b. 定理1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性. 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 证明 ： 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立 定理2 ：n阶行列式为： a11a21a12?a13??(?1)tap1ap2?apn. 12na22?a23????an1an2?an1其中t为p1p2?pn的逆序数.

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（以4阶行列式为例,对证明过程作以说明） （补充）定理3 n阶行列式也可定义为 a11a21a12?a13??(?1)tapqapq?apqn. 11212n1a22?a23????an1an2?an1其中p1p2?pn和 q1q2?qn是两个n级排列,t为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 练习：试判断a14a23a31a42a56a65和?a32a43a14a51a25a66是否都是六阶行列式中的项. 第五节 行列式的性质 转置行列式的定义 a11a21记 D??an1a21?a1na22?a2n DT=a12a22?an2 (D?) ???????an2?anna1na2n?anna11a21?an1行列式DT称为行列式D的转置行列式（依次将行换成列） 一、n阶行列式的性质 性质 1： 行列式与它的转置行列式相等. 由此知，行与列具有同等地位.关于行的性质，对列也同样成立，反之亦然. 如: D?abcd DT?acbd

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以ri表示第i行，cj表示第j列.交换i,j两行记为ri?rj,交换i,j两列记 作ci?cj. 性质 2： 行列式互换两行（列），行列式变号. 推论： 行列式有两行（列）相同，则此行列式为零. 性质 3： 行列式的某一行（列）的所有元素乘以数 k,等于用数k乘以该行列式. 推论： 行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外. 性质 4： 行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零. 性质 5： 若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和. a11a21即若 D??an1a11a12a22?an2?i)?a1n?(a1i?a1?i??a2n??a2i?a2 ?????ann??ani?ania11a12a22?an2?i?a1?i?a2???ani?a1n?a2n. ??anna12?a1i?a1na21a22?a2i?a2na21则 D?+??????an1an2?ani?annan1性质 6： 把行列式某一行（列）的元素乘以数k再加到另一行（列）上，则该行列式不变. 二、n阶行列式的计算：

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2?57?9?612112122721c1?c3例1. 计算D??354?57?9?6?14. 2?57?9?62542r2?r11?5r3?2r1r4?r1212230解： D??354?1472????121?3472??00021?1?16 1?522r2?2r434??r?r000003633r2?r41?522000?120003003??9. ???120abbba?3ba?3ba?3ba?3br1?r2?r3?r4例2. D?babbbbabbbbar1?1a?3b?bbbabbri?br1bab100bba1a?b00 1111babbbbabbbbai?2,3,410a?b0100a?b??a?3b???a?3b?0 ?(a?3b)(a?b). (推广至n阶，总结一般方法) p?qq?rq1?r1q2?r2pp2qq2r?pr2?p2q?rq1?r1q2?r2rr1r2pp2r?pr2?p2r?pr2?p2pp2r1?p1?p1qq1q2qq2qq1q2rr1. r2q?rq1?r1q2?r2rr2r?pr1?p1 r2?p2qq2rr1r2pp1 p2例3. 证明：p1?q1p2?q2r1?p1?2p1?p1证明： 左端性质5p?p1p2p?2p1p2q?rq1?r1q2?r2qq1q2rr1. r2rr2第一列r1?p1?q1r1?q1r1?q1

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