3.4 生活中的优化问题举例
【选题明细表】 知识点、方法 几何中的最值问题 用料最省、费用最省问题 利润最大问题 其他问题 【基础巩固】
题号 1,4,10 6,8,11 5,7,9 2,3 1.一个箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x(时,x的值为( B )
(A)30 (B)40 (C)50 (D)60
2
)(0 解析:V(x)=-x+30x,V′(x)=-x+60x, 令V′(x)=0,得x=40(x=0舍去),且当0 V′(x)>0,当40 2.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时,原油温度(单 322 位:℃)为f(x)=x-x+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是( C ) 32 (A)8 (B) (C)-1 (D)-8 2 2 解析:原油温度的瞬时变化率为f′(x)=x-2x=(x-1)-1(0≤x≤5),所以当x=1时,原油温度的瞬时变化率取得最小值-1.故选C. 3.将8分为两个非负数之和,使其立方和最小,则这两个数为( B ) (A)2和6 (B)4和4 (C)3和5 (D)以上都不对 3332 解析:设一个数为x,则另一个数为8-x,其立方和y=x+(8-x)=8-192x+24x且0≤x≤8,y′=48x-192. 令y′=0,即48x-192=0,解得x=4.当0≤x<4时,y′<0;当4 4.如果圆柱轴截面的周长l为定值,则体积的最大值为( A ) (A)()π 3 (B)()π 3 (C)()π 3 (D)()π 3 解析:设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为V, 则4r+2h=l,所以h=, V=πrh=πr-2πr(0 2232 令V′=0,得r=0或r=,而r>0, 所以r=是其唯一的极值点.所以当r=时,V取得最大值,最大值为()π.故选A. 5.(2018·石家庄高二质检)某银行准备设一种新的定期存款业务,经预测,存款额与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x∈(0,4.8%)),则使银行获得最大收益的存款利率为( A ) (A)3.2% (B)2.4% (C)4% (D)3.6% 23 解析:依题意知,存款额是kx,银行应支付的存款利息是kx,银行应获得的贷款利息是 2232 0.048kx,所以银行的收益是y=0.048kx-kx(0 当0 6.如图所示,某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,当砌壁所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为 . 3 解析:要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短,设场地宽为x米,则长为米, 因此新墙壁总长度L=2x+(x>0), 则L′=2-. 令L′=0,得x=±16. 因为x>0,所以x=16. 当x=16时,Lmin=64,此时堆料场的长为答案:32,16 =32(米). 7.(2018·长春高二月考)某厂生产某种产品x件的总成本c(x)=1 200+x(万元),已知产 3 品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产品件数定为 件时,总利润最大. 解析:设产品的单价为p万元,根据已知,可设p=,其中k为比例系数. 因为当x=100时,p=50,所以k=250 000, 2 所以p= 2 ,p=,x>0. 设总利润为y万元, 则y=·x-1 200-x=500 3 -x-1 200. 3 求导数得,y′=-x. 2 令y′=0得x=25. 故当x<25时,y′>0;当x>25时,y′<0. 因此当x=25时,函数y取得极大值,也是最大值. 答案:25 8.(2018·南宁高二检测)现有一批货物由海上从A地运往B地,已知轮船的最大航行速度为35海里/时,A地至B地之间的航行距离约为500海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6),其余费用为每小时960元. (1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数; (2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶? 解:(1)依题意得y=(960+0.6x)= 2 +300x, 且由题意知,函数的定义域为(0,35], 即y=+300x(0 (2)由(1)知,y′=-+300,令y′=0, 解得x=40或x=-40(舍去). 因为函数的定义域为(0,35],所以函数在定义域内没有极值点.又当0 所以y=+300x在(0,35]上单调递减, 故当x=35时,函数y=+300x取得最小值. 故为了使全程运输成本最低,轮船应以35海里/时的速度行驶. 【能力提升】 9.(2018·西安高二质检)某商场根据以往规律预计某种商品2018年第x月的销售量 2* f(x)=-3x+40x(x∈N,1≤x≤12),该商品的进价q(x)与月份x的关系是q(x)=150+2x(x∈* N,1≤x≤12),该商品每件的售价为185元,若不考虑其他因素,则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是( B ) (A)3 120元 (B)3 125元 (C)2 417元 (D)2 416元 解析:该商场预计销售该商品的月利润为 2 g(x)=(-3x+40x)(185-150-2x) 32* =6x-185x+1 400x(x∈N,1≤x≤12), 2 g′(x)=18x-370x+1 400. 令g′(x)=0,解得x=5,x=(舍去). 当1≤x≤5时,g′(x)>0;当5 综上,5月份的月利润最大,是3 125元.故选B. 10.(2018·杭州高二检测)在半径为r的半圆内有一内接梯形,其下底为直径,其他三边为圆的弦,则梯形面积最大时,该梯形的上底长为( D ) (A) (B)r (C)r (D)r 解析:设梯形的上底长为2x(0 , 所以S==(r+x)·. 所以S′=-= =. 令S′=0,得x=(x=-r舍去), 则h=r. 当x∈(0,)时,S′>0;