∵

，∴△ACE≌△ABE（ASA）∴AB=AC，

∵∠CAE=∠CDE∴AM是BC的垂直平分线，∴CM=BM，CE=BE，∴∠CMA=∠BMA， ∵AE=ED，CE⊥AD，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA， ∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠BAC=2∠CAD，

∴∠MPC=∠CAD，∴∠MPC=∠CDA，∴∠MPF=∠CDM， ∴∠MPF=∠CDM（等角的补角相等），

∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°，∠F+∠MPF+∠PMF=180°， 又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，∴∠MCD=∠F．

14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F． （1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论． （2）求∠BFD的度数．

考点： 分析：

等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质． （1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°，AB=CA，结合AE=CD，可证明△ABE≌△CAD，从而证得结论；

（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°． （1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA． 在△ABE和△CAD中，

解答：

∴△ABE≌△CAD∴AD=BE．

（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，

又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．

15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，

求证：AE=CF．

考点： 分析： 解答：

全等三角形的判定与性质．

根据已知利用SAS即可判定△ABE≌△CBF，根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF． 证明：∵∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF=90°， 又∵AB=BC，BE=BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．

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16．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．

考点： 分析：

全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，当然相等了，由此可以证明△AEO≌△BFO；延长BF交AE于D，交OA于C，可证明∠BDA=∠AOB=90°，则AE⊥BF． 解：AE与BF相等且垂直， 理由：在△AEO与△BFO中，

∵Rt△OAB与Rt△OEF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°﹣∠BOE=∠BOF， ∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF．

延长BF交AE于D，交OA于C，则∠ACD=∠BCO，

由（1）知∠OAE=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，∴AE⊥BF．

解答：

17．（2006?郴州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．

（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明； （2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．

考点： 分析：

等腰三角形的性质． （1）连接AD，根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明； （2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．

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解答：

解：（1）DE+DF=CG． 证明：连接AD，

则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB?CG=AB?DE+AC?DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．

（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG． 理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB?DE=AB?CG+AC?DF ∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG．

同理当D点在CB的延长线上时，则有DE﹣DF=CG，说明方法同上．

18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．

考点： 分析：

等腰三角形的性质；三角形的面积．

猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．根据∵S△PAB=AB?PD，S△PAC=AC?PE，S△CAB=AB?CF，S△PAC=AC?PE，AB?PD=AB?CF+AC?PE，即可求证．

解答：

解：我的猜想是：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．理由如下： 连接AP，则S△PAC+S△CAB=S△PAB，

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∵S△PAB=AB?PD，S△PAC=AC?PE，S△CAB=AB?CF， 又∵AB=AC，∴S△PAC=AB?PE，∴

AB?PD=AB?CF+AB?PE，

即AB（PE+CF）=AB?PD，∴PD=PE+CF．

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