本科毕业生毕业论文

⑥ 由 ⑥⑤ 代入式①，无规则的刚提的转动惯量为：

r2I0?(Ft2?hm?)2h⑦

5.2.5 陀螺运动的描述

定点转动如陀螺运动中,由于转动轴在空间的取向随时变化,是三维空间问题,需要用两个坐标系、三个独立变量来描述。以固定点O为坐标系原点，o????,为空间固定坐标系，o?xyz为固定在转动体上随转动体一起转动的动坐标系.陀螺某时刻的位形如 图5-7 所示：

欧拉角的变化范围为：

图5-8

0???2?,0????,0???2?

在这范围内的欧拉运动学方程为：

?sin?sin????cos??x???sin?cos????sin????y （5-17）

?cos?????z??和如下的欧勒动力学方程为：

?x?(I2?I3)?y?z?MxI1??y?(I3?I1)?z?x?MyI2?

（5-18）

?z?(I1?I2)?x?y?MzI3?式（5-18）中Mx,My,Mz表示对每个转轴的力矩.

利用上面六个方程原则上可求解刚体的所有定点运动问题,但由于上述六个方程

10

本科毕业生毕业论文

都是互相耦合的非线性常微分方程,其求解是相当繁难的,有时甚至是不可能的,因此到目前为止,只有三种情况可求出其精确的解析解,这三种情况是:欧勒-潘索情况、拉格朗日-泊松情况、柯娃列夫斯卡娅情况,现在只讨论第一种相对简单的情况.

对于对称重刚体(I1?I2?I3,L0?0),欧勒动力学方程变为：

?x?(I2?I3)?y?z?0I1??y?(I3?I1)?z?x?0 （5-19） I2??z?0I3?一般理论力学教材的解法是:对5-19的第三方程取积分得?z将之代入

?n(常量),然后

(I1?I3)22??x?n?x?o和5-19-(1)，(2)两式得?2I1(I1?I3)22I3?I1??y??n??0,n??z，再求解上述两个二阶微分方程等等。yI12I1这种求解方法比较繁难,为此,本文给出一种较为简单的方法.

??????dL?M知, L为常矢量由于M?0,由动量矩定理（表示角动量）,为此,取Ldt??的方向沿静止坐标系的o?轴方向,则L在动系OZ轴上的投影为：

Lz又因为

?Lcos? （5-20）

Lz?I3?z?I3n (常量) （5-21）

由（5-20）、（5-21）两式知?为常量,令???0,则??0此时欧勒运动学方程变为：

?sin?sin??x??0?sin?cos????y0

?cos????=n?z??0由（5-22)中第一，第二两式得：

2222?????sin?0 （5-23） xy （5-22）

又因

11

本科毕业生毕业论文

222222L20?I1?x?I2?y?I3?z

2222?I12(?x??y)?I3n （5-24）

由(5-20)、(5-21)两式,得：

22I23nL0?2 （5-25）

cos?0比较(5-24)、(5-40)两式,得：

22I2 ?x??y?3n2sin2?0I2cos2? 10由(5-23)、(5-26)两式得：

I ??3nI 1cos?0积分上式得：

I ??3nIt??0 1cos?0将(5-28)式代入5-22-（3）式得：

???(I1?I3)nI 1积分上式,得：

??(I1?I3)nIt??0 1

综上所述,对称重刚体定点运动的欧勒-潘情况的解为：

??????0????(I1?I3)nt???I0 1cos?0??(I?I3)nt????1I?0112

（5-26）

（5-27）

（5-28） (5-29)

(5-30)

(5-31) 本科毕业生毕业论文

由上述求解结果可看出:

????0????I3n???I1cos?0??(I1?I3)n????I1?

(5-32)

??0说明刚体的对称轴1) ???0,?oz与

轴的夹角不变,没有变动.

?为常量,说明刚体的进动是匀速的. 2) ??为常量,说明刚体的自转也是匀速的. 3) ?所以,对称重刚体的定点运动为规则进动,也就是我们通常所说的惯性运动.

6 结论

在刚体对定轴的角动量的定义中出现一个新的物理量：转动惯量。转动惯量

2定义为I??mr它取决于刚体对轴的质量分布。对通常质量密度均匀的刚体，ii。

它取决于刚体的质量、形状和转轴位置三个因素。转动惯量的定义表明，一个质点对定轴的转动惯量是I?miri2，而刚体的转动惯量就是刚体中的所有质点转动惯量之和I??Ii。这也意味着一个刚体整体的转动惯量应等于其各部分的转动惯量之和。 参考文献：

[1]马文蔚.物理学教程[M].北京:高等教育出版社,2006.

[2]陈颖聪,田杨萌.新世纪大学物理[M].上海:华东师范大学出版社，2005. [3]郭茂政.转动惯量[M].北京:中国科学文化出版社，2003. [4]陈世民，理论力学简明教程，北京，高等教育出版社.2001 [5]张建树，孙秀泉，张正军，北京，科学出版社.2004 [6] 漆安慎，杜婵英. 力学[M].北京：高等教育出版社,2005：

13