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一样的。转动惯量大的刚体所获得的角加速度小，即角速度改变得慢，也就是保持原有转动状态的惯性大；反之，转动惯量小的刚体所获得的角加速度大，即角速度改变得快，也就是保持原有的转动状态的惯性小。因此我们说，转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。故下面进行讨论计算转动惯量的几种方法。

5.2 转动惯量的计算方法

5.2.1 定义法

由I?2(?mr?ii)可以看出，转动惯量I等于刚体上各质点的质量与各质点到

转轴的距离平方的乘积之和。如果刚体上的质点是连续分布的，则其转动惯量可以用积分进行计算，即

（5-9） I??r2dm在国际单位制中，转动惯量的单位是Kg?m2。 下面计算两种简单形状刚体的转动惯量。 ［例］ 一质量为m、长为l的均匀细 长棒，如图5-2所示，求通过棒中心并 与棒垂直的轴的转动惯量。

［解］ 设细棒的线密度为?。如图所示， 取一距离转轴oo?为r处的质量元dm??dr， 由式（5-9）可得

22I?rdm??rdr??由于转轴通过棒的中心，有

图5-2

12ml2I?2??rdr??l?AA?轴为转轴，用同样的方法。可计算出如以通过棒的端点且平行于oo?的12120棒对此转轴的转动惯量为ml2/3。可见所得的结果ml2/12相比，它比转轴为oo?时

2

1/2的转动惯量要大。

我们在普通物理研究中已学过计算转动惯量的最简单的方法平行轴定律和垂直轴定律，它们的表达式分别为 I?Ic?md2(平行轴定律)和Iz?Ix?Iy(垂直轴定律),但用这种方法来计算转动惯量时，对一些复杂的问题不能进行充分的解析，而这些方法只限制于只计算对称轴的转动惯量，所以我们采用其他的方法如将要介绍的惯量椭球法。

5.2.2惯量椭球法

由理论力学知识知道物体在一般情况下的惯量张量为

?Ixx???Iyx??IxyIyy?6 Ixz???Iyz??本科毕业生毕业论文

（5-10）

并且把它叫做对O点而言的惯量张量，而这一惯量矩阵的每一个元素（轴转动惯量和惯量积）则叫做惯量张量，也叫惯量系数。 其中

Ixx??mi(yi2?zi2)i?1nn (5-11)

Iyy??mi(zi2?xi2) i?1n

Izz??mi(xi2?yi2)及 i?1Iyz?Izy??miyizii?1nn

(5-12)

Izx?Ixz??mizixii?1n

Ixy?Iyx??mixiyii?1对质量均匀分布，且形状规则的刚体，我们可把上两式改写成积分形式，即

Ixx??(y2?z2)dmIyy??(z2?x2)dm及

(5-13)

Izz??(x2?y2)dmIyz?Izy??yzdmIzx?Izx??zxdmIxy?Ixy??xydm

（5-14）

据（5-9）式 Ixx，Iyy，Izz就叫做刚体对x轴，y轴，z轴的轴转动惯量，至于Iyz，

Izx，Ixy则因含有两个坐标的相乘项，所以叫做惯量积。若令转动轴的方向余弦各位?，?，?并利用（5-10）式容易得到一般刚体的转动惯量,由惯量张量计算转动惯量的计算公式

?Ixx?????Iyx??I?zx?IxyIyy?Izy7

I?????Ixz????????Iyz??????Izz?????

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?Ixx??Iyy??Izz??2Iyz???2Izx???2Ixy??222（5-15）

式中?,?,?为任一转动瞬轴相对于坐标轴的方向余弦，三个转动惯量和六个惯量积（由于对称关系，实际上也只有三个是相互独立的）作为统一的一个物理量，来代表刚体转动时惯性的量度。由于惯量系数都是点坐标的函数，所以，如果利用静止坐标系，那么刚体转动时，惯量系数亦将随之而变，这显然是很不方便的。因此，通常都选取固连在刚体上，随着刚体一同转动的坐标系，这样惯量系数都将是常数。

动坐标系的原点和坐标轴只需固定在刚体上即可，坐标轴的取向则完全可以任意选取。因此，我们可以利用这一性质，同时消去转动惯量中惯量积，以使问题更为简化。

为了消去惯量积，一般是采用下面介绍的方法。如果我们在转动轴，载取一线段OQ，并且使OQ=1/I=R,I为刚体绕该轴时的转动惯量，则Q点的坐标为

x=R? ,y=R? ,z=R?

因为通过O有很多转轴，按照上面所讲的方法，就应有很多的Q点，些点的轨迹

方程为［利用R2I?1及式（5-15）

Ixxx2?Iyyy2?Izzz2?2Iyzyz?2Izxzx?2Ixyxy?1 （5-15） 这是中心在O点的二次曲面方程，一般来讲，它是闭合曲面，因为I不等于零，（I?0是R趋于无限大），古（5-15）式代表一个中心在O点的椭球，这就是我们推导的惯量椭球方程。如果O为刚体的中心（或重心）则所作出的椭球叫做中心惯量椭球按（5-19）式画出椭球后，据R?1/I的关系，由某轴上矢径R的长，计算出刚体绕该轴的转动惯量I，虽然用惯量椭球可以计算转动惯量，但我们的主要目的并不在此，我们的主要目的是如何用它来消去惯量积，所以下面再次讨论消去惯量积的方法。

5.2.3 惯量主轴法

因为每个椭球都有相互垂直的三条主轴，如果是这些主轴为坐标轴，则椭球方程中含有异坐标项城的项统统消失，惯量椭球的主轴叫惯量主轴，而对惯量主轴的的转动惯量叫主转动惯量，并以I1,I2,I3表之，因为惯量积已都等于零，无需再用两个下角标，如果取O点上的惯量主轴为坐标轴，则惯量椭球的方程将简化为

I1x2?I2y2?I3z2?1 （5-16）

此时系数I1,I2,I3就是O点上的主转动惯量，而惯量积Ixy,Izx,Iyz则统统等于零。所以选取惯量主轴为坐标轴，问题就能得到简化。以上讨论中显然消去6个惯量积，在定点转动中，定点转动如陀螺运动中,由于转动轴在空间的取向随时变化,这种情况在转动定律中出现多余的力矩，也就是说角动量和角速度矢量不一致的原因，下面进一步讨论这个问题。

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5.2.4 实验方法测量

对于形状不规则的刚体我们可以通过实验方法直接测量。其基本方法和装着图样如下：

图5-7

测量刚体转动惯量实验装着图 5-7 所示，质量为m 的刚体放在承物台上，然后用细线连接砝码的一端。（测出砝码所降的距离h ，时间为 t，记录下来）滑轮的质量和滑动摩擦力都可以忽略。 实验装原理的解释：

装着中有两种运动，一个是转动，另一个是匀变速机械运动，我们灵活应用这两种运动的规律，可以计算形状不规则刚体的转动惯量。

若用I0来表示形状不规则刚提的转动惯量、圆盘的转动惯量为I?： 则总得转动惯量可表为：

I?I0?I? ① 而转动部分的运动规律为：

M?Fr?I? ②

其中?表示圆盘的角加速度，F的大小等于砝码所受的重力大小，它和圆盘切向加

速度a的关系

a?r? ③

测出砝码所降的距离 h ，时间 t以后，砝码的运动方程为

12h?at ④

2因h是确定，而时间可以用时间表来记录。从而可以计算线加速度a。 从式④③②可以计算I，它的值为：

Fr2t2 I? ⑤

2h代入数据可以算出I，且

I??9

1m?r22