新疆师范大学2012届本科毕业生毕业论文

每一个质点既然要三个独立变量来确定它的位置，而确定刚体的位置需要确定刚体内不共线的三点O,A,B（图 2-1）的位置，因此，确定刚体位置需要九个变量。但因三点间三个距离OA,OB和AB是数，所以实际上只要用六个独立变量就可以定刚体位的置。不共线的三点确定刚体位置是，刚体内任选取一点O，然后通过O点选取任一个直线作为转动轴，那么要确定O点的位置需三个独立变量，要确定轴线在空间中的位置取向需三个独立变量（即这轴线的方向余弦），而要确定刚体绕这轴线转了多少角度，又要一个变量。在这七个变量中，三个方向余弦是不互相独立的（它们的平方和为1）。这就是到现在最优的方法，但也不是很理想。

2.2 刚体运动的分类

上面已经提到：刚体用六个独立变量就可以定刚体位的置，所以其最一般的运动，是具有六个独立变量的平动与转动的组合。但在某些条件的约束下，刚体可以作少于六个独立变量的运动。如：刚体作运动时的独立变量是三个、定轴转动时的独立变量是一个、作平面运动时的独立变量是三个、作定点转动时也只有三个独立变量，作一般运动时刚体不受任何约束，可以在空间任意运动，但可分解为质心的平动（三个独立变量）与绕通过质心的某某直线的定点转动（三个独立变量）.因此刚体作一般运动时有六个独立变量。

3 刚体力学中的质量和惯性

3.1 刚体力学中的惯性运动

从动力学的角度讲，惯性运动仅适用于质点或仅适用于平动。惯性和惯性运动是有区别的，惯性包括平动惯性和转动惯性；平动惯性与其质量“M”有关，转动惯性与其转动惯量“I”有关。当刚体转动时，刚体上各点作曲线运送，用单一的运动学特征不能完全反映出刚体复杂的运动状态，也不能完全反映出惯性运动的本意。所以，该进一步研究动力学的特征，即：刚体的动量，动量矩动能等。从刚体的惯性和惯性运动的含义及动力学的定律出发，可定义为刚体的动量和动量矩均守恒的运动成为刚体的惯性运动，即

mv?常量 , L?I??常量 （3-1）

为了更确切地定义刚体的惯性运动还得满足作用于刚体上的合作用力为零与合作用力矩为零，即

???F?0 , ?M?0 （3-2）

由(3-1)(3-2)式得出的这一刚体的惯性运动也是 质点惯性运动的推广。根据(3-1)(3-2)式其中的一个就能判断一个刚体是否作惯性运动。

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3.2 惯性运动在刚体力学中的应用

①. 刚体作定轴转动时的惯性运动 刚体绕固定轴作匀角速转动时有两种情况。一是固定，二是固定轴通不过质心。对刚体绕轴通过质心的固定轴转动情况看，满足式 (3-1)的可以看成是惯性运动，刚体定轴转动的惯性运动也是由

I??常量 来确定，可按惯性运动的规律来处理这类问题。如固定轴通不过质心

则不能用简单的惯性运动的规律来处理这类问题，在这种情况下，虽然某一方面保持了物体原来的状态，而且总动量矩为零，但总动量不一定为零，所以这种情况不能看作是惯性运动，这一点就是研究质点与刚体时利用动力学规律处理惯性问题的不同之处。②.刚体作定点转动时的惯性运动 质心与定点重合，外力矩

?M??0 此时，刚体可能的运动有三种情况，第一种是绕中心的惯量线轴作匀角

速转动；第二种是对固定于惯性空间和这一特别选定的坐标做规则运动；更一般的运动。这三种运动中，因为以质心为定点，所以

mv?常量 ,因此 L?I??常量 ，?M??0 ，按着第（3-1）式，这三种情况都是

定点惯性运动。

4 刚体的几种基本运动

4.1 定轴转动

如果刚体运动时，其中有两个点始终不动，那么因为两点可以决定一条直线，所以这条直线上的质点都固定不动，整个刚体就绕着这条线转动，这条折现叫做转动轴，而这种运动叫做绕固定轴转动简或称定轴转动。我们要知道刚体绕这条直线转了多少角度，就能确定刚体的位置。因此，刚体做定轴转动时只有一个独立变量。如 图 4-1

图 4-1

4.2 刚体的平面平行运动

在刚体运动过程中，若体内任一点到某固定平面的距离始终保持不变，则称该刚体的运动为平面平行运动，简称平面运动。刚体的平面运动可以简化为平面图形在自身固定平面内的运动。今后说到平面图形的运动，就是指刚体的平面运动。这是运动可分解为某一平面内任一点的平动（两个独立变量）及绕通过此点

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且垂直与固定平面的固定轴的转动（一个独立变量），所以刚体作平面运动时有三个独立变量。如 图4-2所示：

图 4-2

4.3 定点转动

刚体在运动过程中有一点永远保持不动。整个刚体就绕着通过这一点的某一瞬时轴运动，这种运动称为定点转动。此时转动轴并不固定于空间（因只通过一个点）与定轴转动时的情形不同，我们要用两个独立变量才能确定瞬时轴运动的取向，再用一个变量确定刚体绕这条轴线转了多少角度，所以刚体作定点转动时也只有三个独立变量。如拖累的运动 (图 4-3 )

4.4一般运动

图 4-3

刚体不受任何约束，可以在空间任意运动但可分解为质心的平动（三个独立变量）与绕通过质心的某某直线的定点转动（三个独立变量）.因此刚体作一般运动时有六个独立变量。

5 刚体转动惯量的计算方法

5.1 转动惯量的引入

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为引入转动惯量，刚体可看成是由n个质点组成，刚体可绕固定轴Oz转动，于是刚体上每质点都绕Oz轴作圆周运动。在刚体上取质点i，其质量为?mi，绕

Oz轴作半径为ri的圆周运动。设质点i受两个力作用，一个是外力Fi，另一个是

刚 体中其它质点作用的内力Fi?，并设外力Fi和内力Fi?均在与Oz轴相垂直的同一平面内。由牛顿第二定律，质点i的运动方程为 Fit?Fit???miait （5-1） ?it表为质点的切向加速度。如以Fit和Fit?分别表示外力Fit和内力Fit?在切向的分力，那么质点i的切向运动方程为

Fit?Fit???miri? （5-2） （5-2）式两边各乘以ri得

Fitri?Fit?ri??mir2i? （5-3）

式中Fitr和Fit?r分别是外力Fi和内力Fi?切向分力的力矩。考虑到外力和内力在法向的分力Fn和Fn?均通过转轴Oz，所以其力矩为零。故上式左边也可理解为作用在质点i上的外力矩与内力矩之和。若遍及所有质点，可得

（5-2）式中?是角加速度。切向加速度与角加速度?之间的关系?it?r?。

?Fit+?F=?(?miri)? 由于刚体内各质点间的内力对转轴的合内力矩为零，故上式为

＇it2i=1i=1i=1nnn（5-4）

（5-5)

则有

(?mr)??F=? （5-6）

2itiii=1i=1nn式中的 与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关，也就是说，它M?(?mr2)??i=1niin只与绕定轴转动的刚体本身的性质和转轴的位置有关，叫转动惯量。对于绕定轴2?mr?iii=1转动的刚体，它为一恒量，以I表示，即

（5-7)

（5-7)代入（5-6）就有

Mn?I? （5-8） （5-8）式表示刚体绕定轴转动时的与牛顿第二定律等效的动力学方程。可见，i=1刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比，这个关系叫做定轴转动时刚体的转动定律，简称转动定律。

把式（5-8）与描述质点运动的牛顿第二定律的数学表达式相对比可以看出，它们的形式很相似：外力矩M和外力F相对应，角加速度?与加速度a相对应，转动惯量I与质量m相对应。转动惯量的物理意义也可以这样理解：当以相同的力矩分别作用于两个绕定轴转动的不同刚体时，它们所获得的角加速度一般是不

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I???miri2