中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”。

众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。

这三个统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般水平的代表。 5）、特点不同

平均数：与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数。

中位数：与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它没有影响；它是一组数据中间位置上的代表值，不受数据极端值的影响。

众数：与数据出现的次数有关，着眼于对各数据出现的频率的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，不受极端值的影响,其缺点是具有不惟一性，一组数据中可能会有一个众数，也可能会有多个或没有 。 6）、作用不同

平均数：是统计中最常用的数据代表值，比较可靠和稳定，因为它与每一个数据都有关，反映出来的信息最充分。平均数既可以描述一组数据本身的整体平均情况，也可以用来作为不同组数据比较的一个标准。因此，它在生活中应用最广泛，比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体重等。

中位数：作为一组数据的代表，可靠性比较差，因为它只利用了部分数据。但当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。 众数：作为一组数据的代表，可靠性也比较差，因为它也只利用了部分数据。。在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时用该数据（即众数）表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。

5.极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。

6.方差：设有n个数据x1，x2，?，xn，各数据与它们的平均数的差的平方分别是我们用它们的平均数，即用 (x1?x)2，(x2?x)2，…，(xn?x)2，?，S2?1[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2] n来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。 当一组数据比较小时可以用公式s2?

方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。 标准差：方差的算术平方根，即

S?1?x1?x?2??x2?x?2????xn?x?2 n21[(x12?x22?...?xn2)?nx]计算。 n??并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.

7.极差、方差和标准差的区别与联系：

联系：极差、方差和标准差都是用来衡量 （或描述）一组数据偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况。

区别：极差是用一组数据中的最大值与最小值的差来反映数据的变化范围，主要反映一组数据中两个极端值之间的差异情况，对其他的数据的波动不敏感。

方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数年据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标。在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小。

标准差实际是方差的一个变形，只是方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同。 8.数据的收集与整理的步骤：

1.收集数据 2.整理数据 3.描述数据 4.分析数据 5.撰写调查报告 6.交流 9.平均数、方差的三个运算性质

如果一组数据x1，x2，x3，……，xn的平均数是x，方差是s2。

那么（1）一组新数据x1+b，x2+b，x3+b，……，xn+b的平均数是x+b，方差是s2。 （2）一组新数据ax1，ax2，ax3，……，axn的平均数是ax，方差是a2s2。

（3）一组新数据ax1+b，ax2+b，ax3+b，……，axn+b的平均数是ax+b，方差是a2s2。

习题：一、填空题

1．数学期末总评成绩由作业分数，课堂参与分数，期考分数三部分组成，并按3：3：4的比例确定。已知小明的期考80分，作业90分，课堂参与85分，则他的总评成绩为________。

2．在一次测验中，某学习小组的5名学生的成绩如下（单位：分）

68 、75、67、66、99。这组成绩的平均分x= ，中位数M= ；

若去掉一个最高分后的平均分x'= ；那么所求的x，M，x'这三个数据中，你认为能描述该小组学生这次测验成绩的一般水平的数据是 。

3．从一个班抽测了6名男生的身高，将测得的每一个数据（单位：cm）都减去165.0cm，其结果如下：

?1.2，0.1，?8.3，1.2，10.8，?7.0。这6名男生中最高身高与最低身高的差是 __________ ；这6名男生的平均身高约为 ________ （结果保留到小数点后第一位）

4．已知一个样本：1，3，5，x，2，它的平均数为3，则这个样本的方差是 。 5．甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字个数统计结果如下表：

参赛人班级 数 甲 乙 55 49 55 11 11135 数 119135 中位方差 平均字数 51 0 某同学分析上表后得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；③甲班成绩的波动比乙班大.上述结论正确的是 _________ （把你认为正确结论的序号都填上）。

6．若样本x1＋1，x2＋1，…，xn＋1的平均数为10，方差为2，则另一样本x1＋2，x2＋2，…，xn＋2，的平均数为 ，方差为 。

7．已知一组数据-2，-2，3，-2，-x，-1的平均数是-0.5，?那么这组数据的众数为 ，中位数是 。

8．小张和小李去练习射击，第一轮10枪打完后两人的成绩如图20-1所示，?通常新手的成绩不太稳定，那么根据图的信息，估计小张和小李两人中新手是___ _____．

9．某日天气预报说今天最高气温为8℃，气温的极差为10℃，则该日最低气温为___℃．

10．一班级组织一批学生去春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加进来，

总费用不变，于是每人可以少分摊3元，原来参加春游的学生人数是 。

11．当五个整数从小到大排列后，其中位数是4，如果这组数据的唯一众数是6，

那么这组数据可能的最大的和是__ ___。

12．甲、乙两班各有45人，某次数学考试成绩的中位数分别是88分和90分，

若90分以上为优秀，则优秀人数多的班级是______________．

13．甲、乙、丙三台机床生产直径为60 mm的螺丝，为了检验产品质量，从三台

机床生产的螺丝中各抽查了20个测量其直径，进行数

图20-1

图20-2