.
y1y2=k（x1﹣2）（x2﹣2）=k[x1x2﹣2（x1+x2）+4]=k（
222
+4）=
因为x1、x2≠﹣1，所以直线AB的方程为y=（x+1）
因此M点的坐标为（），
同理可得
因此==0
②当直线BC与x轴垂直时，直线方程为x=2，则B（2，3），C（2，﹣3） AB的方程为y=x+1，因此M点的坐标为（同理可得因此综上
=0，即FM⊥FN
=0
），
故以线段MN为直径的圆经过点F．
【点评】本小题主要考查直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．
21．（12分）（2010?四川）已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N都有a2m﹣1+a2n
2
﹣1=2am+n﹣1+2（m﹣n） （1）求a3，a5；
*
（2）设bn=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N），证明：{bn}是等差数列；
n﹣1*
（3）设cn=（an+1﹣an）q（q≠0，n∈N），求数列{cn}的前n项和Sn． 【考点】数列递推式；数列的求和． 【专题】综合题；压轴题；转化思想．
*
【分析】（1）欲求a3，a5只需令m=2，n=1赋值即可．
（2）以n+2代替m，然后利用配凑得到bn+1﹣bn，和等差数列的定义即可证明． （3）由（1）（2）两问的结果可以求得cn，利用乘公比错位相减求{cn}的前n项和Sn． 【解答】解：（1）由题意，令m=2，n=1，可得a3=2a2﹣a1+2=6 再令m=3，n=1，可得a5=2a3﹣a1+8=20
*
（2）当n∈N时，由已知（以n+2代替m）可得 a2n+3+a2n﹣1=2a2n+1+8
;..
.
于是[a2（n+1）+1﹣a2（n+1）﹣1]﹣（a2n+1﹣a2n﹣1）=8 即bn+1﹣bn=8
所以{bn}是公差为8的等差数列 （3）由（1）（2）解答可知{bn}是首项为b1=a3﹣a1=6，公差为8的等差数列 则bn=8n﹣2，即a2n+1﹣a2n﹣1=8n﹣2 另由已知（令m=1）可得 an=
﹣（n﹣1）．
2
那么an+1﹣an=
n﹣1
﹣2n+1=﹣2n+1=2n
于是cn=2nq．
当q=1时，Sn=2+4+6++2n=n（n+1）
012n﹣1
当q≠1时，Sn=2?q+4?q+6?q+…+2n?q． 两边同乘以q，可得
123n
qSn=2?q+4?q+6?q+…+2n?q． 上述两式相减得
（1﹣q）Sn=2（1+q+q+…+q=2?
﹣2nq
n
2
n﹣1
）﹣2nq
n
=2?
所以Sn=2?
综上所述，Sn=
．
【点评】本小题是中档题，主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．同时考查了等差，等比数列的定义，通项公式，和数列求和的方法．
22．（14分）（2010?四川）设
，a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．
（Ⅰ）设关于x的方程求求t的取值范围；
（Ⅱ）当a=e，e为自然对数的底数）时，证明：
在区间[2，6]上有实数解，
；
;..
.
（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较||与4的大小，并说明理由．
【考点】利用导数研究函数的极值；反函数；函数与方程的综合运用；不等式． 【专题】计算题；综合题；压轴题；转化思想．
【分析】（Ⅰ）求出g（x），
出t的表达式，利用导数确定t 的范围； （Ⅱ）a=e求出
在[2，6]上有实数解，求
，利用导数推出是增函数，求出最小值，即可证明
；
（Ⅲ）利用放缩法，求出|
x
|的取值范围，最后推出小于4即可．
【解答】解：（1）由题意，得a=故g（x）=
＞0
，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
2
由
则t′=﹣3x+18x﹣15=﹣3（x﹣1）（x﹣5） 列表如下： x 2 6 （2，5） 5 （5，6） t' + ﹣ t 5 25 递增 递减 极大值32 所以t最小值=5，t最大值=32
所以t的取值范围为[5，32]（5分） （Ⅱ）
2
得t=（x﹣1）（7﹣x），x∈[2，6]
=ln（=﹣ln
2
）
令u（z）=﹣lnz﹣=﹣2lnz+z﹣，z＞0
;..
.
2
则u′（z）=﹣
=（1﹣）≥0
所以u（z）在（0，+∞）上是增函数 又因为
＞1＞0，所以u（
）＞u（1）=0
即ln＞0
即
（3）设a=
（9分）
，则p≥1，1＜f（1）=≤3，
当n=1时，|f（1）﹣1|=≤2＜4， 当n≥2时，
设k≥2，k∈N时，则f（k）=
*
，
=1+
所以1＜f（k）≤1+，
从而n﹣1＜≤n﹣1+=n+1﹣＜n+1，
所以n＜＜f（1）+n+1≤n+4，
综上所述，总有|﹣n|＜4．
【点评】本小题考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力．
;..