A批导线 0.143 0.142 0.143 0.137
B批导线 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140
设测定数据分别来自分布N(试求
)，N(
)且两样本相互独立，又，
均为未知，
的置信度为0.95的置信区间
4. 研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率，设两者都服从正态分布，并且已知燃烧 的标准差均近似地为0.05cm/s,取样本容量为
,得燃烧率的样本均值分别为
的置信度为0.99
设两样本独立，求两燃烧率总体均值差
的置信区间。
5. 设两位化验员A,B独立地对某种聚合物含氧量用相同的方法各作10次测定，其测定值的样本方差依次为
的方差，设总体均为正态的，求方差比
设
分别为A,B所测定的测定值总体
的置信度为0.95的置信区间。
6. 为研究某中汽车轮胎的磨损特性，随机地选择16只轮胎，每只轮胎行驶到磨坏为止，记录所行驶的路程（以公里计）如下：
41250 40187 43175 41010 39265 41872 42654 41287 38970 40200 42550 41095 40680 43500 39775 40400 假设这些数据来自正态N(
四、证明题与综合题 1. 试证明均匀分布
中未知参数的极大似然估计量不是无偏的。
)，其中
未知，试求的置信度为0.95的单侧置信下限。
2. 设从均值为，方差为的总体中，分别抽取容量为的两独立样本，都是的无偏估计，并确
分别是两样本的均值，试证：对于任意常数a,b,(a+b=1),Y=a+b定常数a,b使
达到最小。
)和N(
中抽取容量为
3. 设分别自总体N(方差分别为
的两独立样本。其样本
试证，对于任意常数a,b,(a+b=1),z=a+b都是的无偏估计，并确定常数
a,b使D(Z)达到最小。
4. 设x1,x2,,xn是来自均匀总体U(0,?)的样本，
?； （2） 证明?的最大似然估计??是相合估计. （1） 试求?的最大似然估计?
5. 设X1,,Xn为来自总体X的一个样本，X的密度函数为
?e?(x??),x??p(x,?)??.
其他?0,（1） 试证，?的最大似然估计为X(1)；（2）试证，X(1)不是?的无偏估计，但
1（3）试求XX(1)?是?的无偏估计；
n6. 设x1,x2,2(1)的方差Var?X(1)?。
,xn是来自均匀总体N(?,?2)的样本，
1n1n22x?x（1） 试求?,? 的最大似然估计； （2） 证明x??xi,s????ini?1n?1i?1分别为?,?2的UMVUE.
7. 设X1,X2,,Xn1是来自总体X~Exp?1/??的一个样本，试证X和nX(1)都是?的无偏估计，并比较其有效性。
8. 设X1,X2,,Xn1是来自正态总体N(?,?2)的样本，证明，
分别为?,?的最小方差无偏估计（UMVUE）。
221n1n2X??Xi,S?X?X??i?ni?1n?1i?19. 设X~N(0,?)，X1,2
2
2,Xn为其一组样本，
2
2
?; （2） 证明??是?的无偏、相合估计； （1）求?的最大似然估计??是?的有效估计。 （3）证明?10. 设总体为指数分布Exp(1/?)，x1,x2,2
2
,xn是样本，
1n（1） 求该总体分布的费希尔信息量I(?)； （2）证明x??xi是?的最小方差无偏
ni?1估计。
11. 设K台仪器，已知用第i台仪器测量时，测定值总体的标准差为
用这些仪器独立地对某一物理量各观察一次，分别得到
。设仪器都没有系统误差，即
取何值，方能使用
估计时，是无偏的，并且D()最小。
，问
应
12. 设X1,X2,,Xn1是来自总体X~p(x,?)?e?(x??),x??的样本，
?，它是否是相合估计？是否是无偏估计； （1）求?的最大似然估计?1?，它是否是相合估计？是否是无偏估计； （2）求?的矩估计?2??X?c的估计，求使得??的均方误差达到最小的c， （3） 考虑?的形如? c(1)c?和??的均方误差进行比较。 并将之与?1213. 设X1,X2,21,Xn1是来自正态总体N(?,?2)的样本，对考虑如下三个估计
2221n1n1n22??????Xi?X?,?3?n?1??Xi?X? ??Xi?X?,?2?n?n?1i?1i?1i?1（1） 哪一个是的无偏估计？ （2） 哪一个均方误差最小？ 14. 设X1,X2,,Xn1为取自正态总体N(?1,1)的容量为n1的样本，Y1,Y2,,Yn2为取
自正态总体N(?2,4)的容量为n2的样本，且两样本相互独立。
?； （1）求???1??2的矩估计??的方差达到最小。 （2）如果n?n1?n2固定，试问如何分配n1和n2才能使得?15. 设总体X服从指数分布，其概率密度为
从总体中抽取一容量为n的样本X1,X2,
,Xn
(1) 证明：
2nX?~?2(2n)；
(2) 求?的置信水平为1??单侧置信下限 （3）某种元件的寿命（以小时计），服从上述指数分布，现从中抽得一容量n=16的样本，测得样本均值为5010（小时），试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。