关于l的对称直线PB与椭圆交于另一点B．设O为坐标原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．

x2y23【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）直线AB与直线OP平行．见解析 ??1，离心率822【解析】 【分析】

（Ⅰ）将点?2,1?代入到椭圆方程，解得a的值，根据c?a2?b2，得到c的值，从而求出离心率；（Ⅱ）直线PA:y?1?k(x?2)，PB:y?1??k(x?2)，点A?x1,y1?，B?x2,y2?，将直线与椭圆联立，得到x1和x2，从而得到AB的斜率，得到kAB?kOP，得到直线AB与直线OP平行．

x2y2【详解】解：（Ⅰ）由椭圆C:2??1过点P(2,1)，

a2可得

41??1，解得a2?8． 2a2所以c2?a2?b2?8?2?6，

63x2y2所以椭圆C的方程为． ???1，离心率e?82222（Ⅱ）直线AB与直线OP平行．

证明如下：由题意，设直线PA:y?1?k(x?2)，PB:y?1??k(x?2)， 设点A?x1,y1?，B?x2,y2?，

?x2y2??1?由?8得 2?y?kx?2k?1??4k2?1?x2?8k?1?2k?x?16k2?16k?4?0，

8k(2k?1)8k2?8k?2所以2+x1?，所以x1?， 224k?14k?18k2+8k?2同理x2?，

4k2?1所以x1?x2??16k， 24k?1

由y1?kx1?2k?1，y2??kx2?2k?1， 有y1?y2?k(x1?x2)?4k??8k， 24k?1y1?y21?，

x1?x22因为A在第四象限，所以k?0，且A不在直线OP上，所以kAB?又kOP?1，故kAB?kOP，所以直线AB与直线OP平行. 2【点睛】本题考查求椭圆方程，直线与椭圆相交求交点，判断两直线的位置关系，属于中档题. 22.已知由n(n?N*)个正整数构成的集合A?{a1,a2,L,an}(a1?a2?L?an,n≥3)，记

SA?a1?a2?L?an，对于任意不大于SA的正整数m，均存在集合A的一个子集，使得该子集的所有

元素之和等于m. （Ⅰ）求a1,a2的值；

（Ⅱ）求证：“a1,a2,L,an成等差数列”的充要条件是“SA?n(n?1)”； 2（Ⅲ）若SA?2020，求n的最小值，并指出n取最小值时an的最大值.

【答案】（Ⅰ）a1?1，a2?2 （Ⅱ）证明见解析 （Ⅲ）n的最小值为11，此时an的最大值1010. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）m?1和m?2时，根据SA的定义，以及集合A?{a1,a2,L,an}(a1?a2?L?an,n≥3)的性质，

ai?i，得到答案；（Ⅱ）必要性：可得SA?11n?n?1?，充分性：由条件可得ai?i，从而有SA?n(n?1)，22当且仅当ai?i时，等号成立，从而得证；（Ⅲ）含有n个元素的非空子集个数有2n?1，当n?10时，不满足题意，当n?11时，集合A??1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024?，可以表示

1,2,3,L,2046,2047共2047个正整数，满足题意，由S10?a11?2020并且S10?1?a11得到

a11?2021*，结合a11?N，得到an的最大值1010 2【详解】解:（Ⅰ）m?1时，由条件知1?SA，必有1?A，又a1?a2?L?an均为整数，a1?1.

m?2时，由条件知2?SA，由SA的定义及a1?a2?L?an均为整数，必有2?A，a2?2.

（Ⅱ）必要性：由“a1,a2,L,an成等差数列”及a1?1,a2?2 得ai?i(i?1,2,L,n)此时A??1,2,3,L,n?满足题目要求 从而SA?1?2?3?L?n?1n(n?1). 2充分性：由条件知a1?a2?L?an,且均为正整数，可得ai?i(i?1,2,3,L,n), 故SA?1?2?3?L?n?于是当SA?1n(n?1)，当且仅当ai?i(i?1,2,3,L,n)时，上式等号成立. 21n(n?1)时，ai?i(i?1,2,3,L,n)，从而a1,a2,L,an成等差数列. 21所以“a1,a2,L,an成等差数列”的充要条件是“SA?n(n?1)”.

2（Ⅲ）由于含有n个元素的非空子集个数有2n?1，

故当n?10时，210?1?1023，

此时A的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m，不符合要求.

而用11个元素的集合A??1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024?的非空子集的元素之和可以表示

1,2,3,L,2046,2047共2047个正整数.

因此当SA?2020时，n的最小值为11. 记S10?a1?a2?L?a10

则S10?a11?2020并且S10?1?a11.

事实上若S10?1?a11，2020?S10?a11?2a11，则a11?1010，S10?a11?1010， 所以m?1010时无法用集合A的非空子集的元素之和表示，与题意不符. 于是2020?S10?a11?2a11?1，得a11?2021*，a11?N，所以a11?1010. 2当a11?1010时A??1,2,4,8,16,32,64,128,256,499,1010?满足题意 所以当SA?2020时，n的最小值为11，此时an的最大值1010.

【点睛】本题考查集合与数列的新定义，求数列中的项，等差数列的条件证明，考查求数列的项数的最小值和项的最大值，属于难题.