8. 一个轻质轩，一端连在一个可以在光滑水平面上运动的滑块A上，另一端连接一个小球B，滑块A的质量为mA，小球B的质量为mB，杆以与竖直方向夹角为?以初速度为零释放。

f. 系统是否为完整约束？ g. 主动力是否为保守力？ h. 系统的自由度为多少？ i. 怎样选取广义坐标？

j. 用拉格朗日方程列写出滑块A和小球B组成的系统的运动微分方程。

A?B 解：

a. 光滑水平面是理想约束，轻质轩对小球是几何约束，所以系统是完整约束系统。 b. 主动力只有重力，所以是保守力。

c. 滑块A和小球B组成的系统的运动属于平面问题，共受到2个几何约束，

所以自由度为4-2=2。

d. 可以把系统的运动分解为由小球和轻杆组成的摆绕滑块的定轴转动和

滑块的平动，建立如图2所示的坐标系，可以选取摆与竖直方向的夹角

?和滑块的位置x做为广义坐标。

?，球B的绝对e. 取坐标原点为势能零点，系统的势能为：V??mBglcos?，由图2几何关速度vB?vA?vr，球B相对于A的转动速度为：vr?l???2lx?cos??l????。 系，根据余弦定理得：vB?x2222??? 25

则系统的动能为：T?111122?2?2lx?cos?2?mB(x?2?l2???mAvA?mBvB?mAx?)

2222由拉格朗日函数：L?T?V 所以 L?T?V?11?2?2lx?cos?)?mBglcos? ?2?mB(x?2?l2???mAx22?L?L?cos? ??mBl??0，?(mA?mB)x??x?xd?L??cos??mBl??2cos? ??mBl? ()?(mA?mB)?x?dt?x?L?L?sin??mBglsin?，??mBlx???cos? ??mBlx?mBl2??????d?L???mBl??sin? ?cos??mBlx??()?mBl2?x?dt??把前面的式子代入到保守力系的拉氏方程中：

d??L???dt???q??L????q?0,(??1,2)得：

????cos??mBl??2sin??0??mBl?x:(mA?mB)?x

???mBl??cos??mBglsin??0?:mBl2?x

五、思考题

1、 一质点动量守恒, 它对空间任一固定点的角动量是否守恒? 如质点对空间某一固定点角动量守恒, 该质点动量是否守恒?

答：一质点动量守恒，则对空间任一固定点角动量守恒. 质点对空间某一固定点角动量守恒，其动量不一定守恒.

2、 当质点做匀速直线运动时, 其动量是否守恒? 角动量是否守恒? 答：质点作匀速直线运动时，其动量和角动量均守恒.

3、刚体一般是由n（n是一个很大得数目）个质点组成。为什么刚体的独立变量却不是3n而是6或者更少？

答：确定一质点在空间中得位置需要3个独立变量，只要确定了不共线三点的位置刚体的位置也就确定了，故须九个独立变量，但刚体不变形，此三点中人二点的连线长度不变，即有三个约束方程，所以确定刚体的一般运动不需3n个独立变量，有6个独立变量就够了.若刚体作定点转动，只要定出任一点相对定点的运动刚体的运动就确定了，只需3个独立变量；

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确定作平面平行运动刚体的代表平面在空间中的方位需一个独立变量，确定任一点在平面上的位置需二个独立变量，共需三个独立变量；知道了定轴转动刚体绕转动轴的转角，刚体的位置也就定了，只需一个独立变量；刚体的平动可用一个点的运动代表其运动，故需三个独立变量。

4、何谓物体的重心？他和重心是不是 总是重合在一起的？

答：物体上各质点所受重力的合力作用点即为物体的重心。当物体的大小远小于地球的线度时物体上各质点所在点的重力加速度都相等，且方向彼此平行即重力场为均匀场，此时质心与重心重合。事实上但物体的线度很大时各质点所在处g的大小是严格相等，且各质点的重力都指向地心，不是彼此平行的，重心与质心不和。

5、试讨论图形的几何中心，质心和重心重合在一起的条件。

答： 当物体为均质时，几何中心与质心重合；当物体的大小远小于地球的线度时，质心与重心重合；当物体为均质且大小远小于地球的线度时，三者都重合。

6、简化中心改变时，主矢和主矩是不是也随着改变？如果要改变，会不会影响刚体的运动？ 答 主矢F是力系各力的矢量和，他完全取决于力系中各力的大小和方向，故主矢不随简化中心的位置而改变，故而也称之为力系的主矢；简化中心的位置不同，各力对简化中心的位矢ri也就不同则各力对简化中心的力矩也就不同，故主矩随简化中心的位置而变，被称之为力系对简化中心的主矩。分别取O和O?为简化中心，第i个力Fi对O和O?的位矢分别为ri和ri?，则ri=ri?+OO?，故

MO????r??F????r??OO???F???r??F??OO???Fiiiiiiiiiii?Mo?OO???Fi

i即Mo??Mo

主矢不变，表明刚体的平动效应不变，主矩随简化中心的位置改变，表明力系的作用对刚体上不同点有不同的转动效应，但不改变整个刚体的转动规律或者说不影响刚体绕质心的转动。设O和O?对质心C的位矢分别为rC和rC则rC把O点的主矢F??，?=rC+OO?，主矩Mo移到C点得力系对重心的主矩

?F，

iiMC?Mo?rC??Fi

i把O?为简化中心得到的主矢F??F和主矩Miio?移到C点可得

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??rC??Fi?Mo??rC??OO????Fi?Mo?rC??Fi MC?Moiii简化中心的改变引起主矩的改变并不影响刚体的运动。事实上，简化中心的选取不过人为的手段，不会影响力系的物理效应。

7、转动瞬心在无穷远处，意味着什么？

答 转动瞬心在无穷远处，标志着此瞬时刚体上各点的速度彼此平行且大小相等，意味着刚体在此瞬时的角速度等于零，刚体作瞬时平动

8、 刚体做平面平行运动时，能否对转动瞬心应用动量矩定理写出它的动力学方程？为什么？

答 转动瞬心的瞬时速度为零，瞬时加速度并不为零，否则为瞬时平动瞬心参考系是非惯性系，应用动量矩定理是必须计入惯性力系对瞬心的力矩。而惯性力系向瞬心简化的结果，惯性力系的主矩一般不为零（向质心简化的结果惯性力系的主矩为零），故相对瞬心与相对定点或者质心的动量矩定理有不同的形式；另外，转动瞬心在空间中及刚体上的位置都在不停的改变，（质心在刚体上的位置是固定的），

故对瞬心的写出的动量矩定理在不同时刻是对刚体上不同点的动力学方程，即瞬心参考系具有不定性；再者，瞬心的运动没有像质心一点定理那样的原理可直接应用。故解决实际问题一般不对瞬心应用动量矩定理写其动力学方程。

9、刚体做怎样的运动时，刚体内任一点的线速度才可以写为ω?r？这时r是不是等于该质点到转动轴的垂直距离？为什么？

答 刚体绕定点转动时，ω?ω?t?的大小、方向时刻改变，任意时刻ω所在的方位即为瞬时转轴，

dω?r表示由于ω大小和方向的改变引起的刚体上某但绕瞬时轴的转动速度，故称dt转动加速度。ω??ω?r??ω?v是由于刚体上某点绕瞬时轴转动引起速度方向改变产生的加速度，它恒垂直指向瞬时转轴，此方向轨迹的曲率中心或定点，故称向轴加速度而不称向心加速度。

dω10、刚体绕固定点转动时，?r为什么叫转动加速度而不叫切向加速度？又ω??ω?r?dt为什么叫向轴加速度而不叫向心加速度？

答 在对定点应用动量矩定理推导欧勒动力学方程时，既考虑了刚体绕定点O转动的定量矩又考虑了J相对固连于刚体J随固连于刚体的坐标系绕定点转动引起的动量矩改变ω?J，

的坐标轴的运动引起动量矩的改变Jxi?Jyj?Jzk也就是说，既考虑了随刚体运动的牵连

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