《数理统计》试题库

假设检验

1设?1,?2,?,?25取自正态母体N(?,9)其中?为未知参数,?为子样均值，对检验问题H0:???0,H1:???0取检验的拒绝域:C?(x1?x25):x??0?c, 试决定常数c使检验的显著性水平为0.05.

??9），解:因为?~N（?，所以?~N（?，） 在H0成立下,

925???????05??5??P（????C）?P?C?21???C???0.05, 00??3?3??3????5???5???C??0.975,?3?5C?1.96, 所以 C=1.176. 3222．设子样(?1?,?n,)取自正态母体N(?,?0已知，对检验假设 ),?0H0:???0,H1:???0的问题，取临界域C??(x1?xn):x?c0?.

（i）求此检验犯第一类错误的概率?,犯第二类错误的概率?,并讨论它们之间的关系.

2（ii）设?0?0.5,?0?0.04,??0.05,n?9,求??0.65时不犯第二类错误的概率.

2?0 解: (i).在H0成立下, ?~N（?0，）

n??P0???C0??P0???C0??0????0??0n?C0??0?0?n??, ??0n??1???C0??0n?1????0

其中?1??是N（0，1）分布的1??分位点。

1

在H1成立下,?~N（?，）,??P1?02n???????C??P??01??0n?C0???0?n?? ??n?? ???0??1????0?????C0??????0?n?????? =??n??n???1????????0?0?0??????当?增加时，?1??减少，从而?减少；反之当?减少时，将导致?增加。 （ii）不犯第二类错误的概率为1-?。

1???1?????1?????????00.65?0.5??n??1?????3? ?0.05??00.2???=1???1.645?2.25??1????0.605????0.605??0.7274.

3．设一个单一观测的子样?取自密度函数为f(x)的母体，对f(x)考虑统计假设：

?10?x?1H0:f0(x)???0其它?2x0?x?1 H1：f（x）??1其它?0试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足??2??min，并求其最小值。 解： 设检验函数为 ??x???

?1x?C ( [C,1]为检验拒绝域）

?0x?C??2??P0?x?C??2P1?E1??x??1?x?C??P0?x?C??2[1?P1?x?C?]?E0??x??2?11???????1?4x???x?dx ?xdx?21?2x?xdx?2?=???0??00??1要使??2?达到最小，当1-4x?0时,??x?=0；当1-4x<0时, ??x?=1.

1?0x??4, 此时 所以检验函数应取 ??x???1?1x?4?

2

??2??2??1?1?4x?dx?2??x?2x142?17?. 1844，设某产品指标服从正态分布，它的根方差?已知为150小时，今由一批产品

中随机地抽查了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显著性水平下，能否认为这批产品的指标为1600小时？

解：母体?~N??,150?,， 对假设H20:??1600采用U—检验法，

26?1.2578,??0.05时临界值

在H0为真下，检验统计量观察值为??x??0?2?1????0.975?1.96。 由于???1??， 所以接受H0，

2即不能否定这批产品指标为1600小时

5某电器零件的平均电阻一直保持在2.64?均方差保持在0.06?.改变加工工艺后测的100个零件,其平均电阻为2.62?,均方差不变.问新工艺对此零件的电阻有无显著差异?取显著性水平??0.01 。

解：设改变工艺后，电器零件电阻为随机变量?，则E???未知，

D??0.062?2。 检验假设H0:??2.64。

?0.062从母体中取了容量为100子样，?近似服从正态分布，即：?~N???,100?因而对假设H0可采用u—检验计算检验统计量观察值

?????。 ??????02.62?2.64n?100??3.33?0.062，

??0.01,?1????0.998?2.10。 由于??3.33??1??。

2所以拒绝原假设H0即改革工艺后零件的电阻一有显著差异。

6. 有一种新安眠剂,据说在一定剂量下能比某种就旧暗昧安眠剂平均增加睡眠时

间3小时,根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时,均方差为1.8小时,为了检验新安眠剂的这种说法是否正确,收集到一种使用新安眠剂的睡眠时间(以小时为单位)为: 26.7, 22.0, 24.1, 21.0, 27.2, 25.0, 23.4

3

试问这组数据能否说明新安眠剂已达到新的疗效?

解：设新安眠剂疗效为随机变量?，则E???未知，D??1.82。 检验假设H0:??20.8， H1:??20.8

?1.82从母体中取了容量为7子样，?近似服从正态分布，即：?~N???,7?因而对假设H0可采用u—检验计算检验统计量观察值

???。 ??????021.34?20.8n?7?0.37?1.8，

??0.05,?1????0.995?2.58。 由于??0.37??1??。

所以接收原假设H0，即新安眠剂未达到新的疗效。 7．设 X1,X2,--- ,Xn为取自总体X ~N??,??的简单随机样本，其中?2020为已知

??X常数，选择统计量U =

ni?1ni??0?2?2，求?的1-?的置信区间。

2??X???i0解：由于U =

ni?1?i2服从?(n)， 于是

2?2??n??1?2??Xi?1??0?222?n? ???22???X???i0?i?1n??n2??X???i0?2,故 ?的1-?的置信区间 ?i?1???n???2??1??2?n??。 ???8．在某校的一个班体检记录中，随意抄录 25 名男生的身高数据，测得平均高

为170厘米，（修正）标准差为12厘米，试求该班男生的平均身高?和身高标准差?

4

的 0 .95置信区间（假设身高近似服从正态分布）。

解：由题设 身高X~N（?,?2），n=25，X?170,S?12,??0.05。 （1） 先求的置信区间（?未知）取

2U?X??~t(n?1),t?(n?1)?t0.025(24)?2.06，故?置信区间为： S2n12252(170??2.06,170?1225?2,06)=(170-4.94, 170+4.94)=(165.06, 174.94)

(2). ?的置信区间（?未知）取

U?x21?(n?1)S2?2(n?1)?x22~x2(n?1),x?(n?1)?x0.025(24)?39.364220.975

?2(24)?12.40124?12224?122,)?(87.80,278.69) 故?的0.95置信区间为 (39.36412.4012?的0.95置信区间为

?87.80,278.69?(9.34,16.69).

?9．在测量反应时间中，一心理学家估计的标准差为 0.05 秒，为了以 95% 的置信度使他对平均反应时间的估计误差不超过0.01秒，应取多大的样本容量n?

解：以X表示反应时间，则??E(X)为平均反应时间，由条件知，样本标准差S=0.05, 用样本均值X估计?. 当n充分大时，统计量U?从标准正态分布N（0，1），根据条件，要求样本容量满足

X??X??近似服?S0.05nn??X??0.01n??PX???0.01?P????0.95. 即

0.050.05??n?????0.01n??n?n2?????0.95,??????1.96?n?9.8?96.04

??5?0.055????

5

即应取样本容量n为96或97。

10．设 X1,X2,---, Xn为取自总体X的简单随机样本，试证:

n1n2S =?Xi?X?（其中X??Xi）是D(X) 的无偏估计。 ?n?1i?1i?12

11．设 X1,X2,--- , Xn为取自总体X~ P(?)的简单随机样本，对任一数值?，（0???1），试证：?X+(1-?)S2是? 的无偏估计.

1n2??其中:X??Xi, S = X?X?in?1i?1i?12

n

12．设从均值为?,方差为?的总体中，分别抽取容量为 n1 , n2的两个独立样本，

2X1和X2分别为两样本的均值，试证对于任意常数a, b, (a+b=1), Y=aX1+bX2也是

?的无偏估计，并确定常数a, b, 使 D(Y) 达到最小.

22．在某年级学生中抽测9名跳远年成绩，得样本均值X= 4.38 m . 假设跳远绩 X服从正态分布，且?= 03, 问是否可认为该年级学生跳远平均成绩为?= 4.40 m (? = 0.10).

解：(1)H0:??4.40 H1:??4.4

6

(2) 选统计量 U?X?4.40?~N(0,12);

n2（3）查标准正态分布表，得出临界值Z??Z0.05?1.64,拒绝域

(??,?1.64)?(1.64,??);

(4)算得,U0?4.38?4.40?0.2,显然0.2不在拒绝域内，因此H0被接收，

0.33即可认为该年级学生跳远平均成绩为4.40米。

23．设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差 S*为15分，问在显著水平0.05下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分？并给出检验过程。

t1??2?n?1??t0.975?35??2.0301

解：（1）待检假设H0:??70;备择假设H1:??70 （2）在H0成立条件下选择统计量 ??X??0~t0?n?1?

Sn （3）在显著性水平0.05下，查t分布表，找出临界值 t1??2?n?1??t0.975?35??2.0301

???2.0301 拒绝域 ???,?2.0301,???

66.5?70 （4）计算U0??，故接受H0,，因此可以认?1.4???2.0301,2.03011536为这次考试全体考生的平均成绩为70分。

24．某厂生产的电子仪表的寿命服从正态分布，其标准差为?= 1.6, 改进新工艺后，从新的产品抽出9件，测得平均寿命X= 52.8, S2 = 1.19 ，问用新工艺后仪表的寿命方差是否发生了变化？（取显著性水平? = 0.05） 解：（！）待检假设H0:?2?1.62，备择假设H1:?2?1.62

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?n?1?S2H0成立时2 （2）选取统计量U? ??n?1?

2?0~2 （3）查?2分布表，找出临界值???n?1???02.025?8??17.535,?02.975?8??2.180.

2拒绝域为?0,2.180???17.535,???. （4）计算U0??9?1??1.19?3.73，接受

1.62H0，即改进工艺后仪表寿命的方

差没有显著变化。

25．电工器材厂生产一批保险丝，抽取10根试验其熔断时间，结果为 ： 42, 65, 75, 78, 71, 59, 57, 68, 54, 55. 问是否可认为整批保险丝的熔断时间的方差不大于 80 ？（熔断时间服从正态分布，显著性水平 ? = 0.05）.

解：（1）待检假设H0:?2?80,备择假设H1:?2?80

?n?1?S2?在H成立下?2 （2）选取统计量U?~??n?1?

02?0 （3）由??0.05,n?1?9,查?2分布表 (4)X?22?n?1???02.05?9??16.919 ??1?42?65?75?78?71?59?57?68?54?55??62.4。 101102S???Xi?X??121.89i?1

9?121.8U0??13.7??0,16.919?80故接受假设H0，即在??0.05下，可认为整批保险丝的熔断时间的方差不大于80.

26．某校从经常参加体育锻炼的男生中随机地选出50名,测得平均身高174.34 厘米从不经常参加体育锻炼的男生中随机地选50名，测得平均身172.42 厘米，统计资料表明两种男生的身高都服从正态分布，其标准差分别为5.35和6.11厘米，问该校经常参加锻炼的男生是否比不常参加体育锻炼的男生平均身高些？???0.05?

解： X, Y分别表常锻炼和不常锻炼男生的身高，由题设

X~N?1,5.352,Y~N?2,6.112

(1) 待检假设H0:?1??2，备择假设H1:?1??2

8

????

(2) 选取统计量U?X?Y在H0成立下22?21n??~N0，12

??m(3) 对于??0.05， 查正态分布表，Z2??Z0.1?1.64 (4) 计算U0?174.34?172.425.356.11?505022?1.67?1.64

故否定假设H0即表明经常体育锻炼的男生平均身高不比不经常体育锻炼的男生平均身高高些。

七（10分）在一台自动车床上生产直径为2.050毫米的轴，其直径据经验服从正态分布，为了检验这一车床的生产是否受时间的影响，现每隔二小时，各抽取容量都为10的子样，其子样均值分别??2.063,??2.059；方差的无偏估计值分别对应为

2*2。要求在显著性水平??0.01下检验假设S1*n?0.00000956,S2n2?0.0000048912（认为?12??2。 H0:?1??2。??2未知，t0.995?2.878）

六（10分）某厂生产的电子仪表的寿命服从正态分布，其标准差为??1.6, 改进新工艺后，从新的产品抽出9件，测得平均寿命X?52.8, S2=1.19，问用新工艺后仪表的寿命的方差是否发生了变化（取显著性水平??0.05,

22?0.025(8)?17.535?0.975?2.180）

七（10分）设某厂一车床生产的纽扣，其直径据经验服从正态N??,??，?2020，?5.2。

现抽取容量n?100的子样，其子样均值x?26.56。求?的置信度为1??=0。95的置信区间。（其中?0.975?1.96,?0.95?1.64）

1.设 X1, X2, X3 是来自 Bernoulli b (1, p)分布的样本，检验问题

H0:p?13?Ha:p?的一个否定域为W?{(x1,x2,x3):x1?x2?x3?2}试24求该否定域的第一、二类错误概率和p =3/4时的功效。

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2. 设 X1, X2, ?，Xn是来自密度函数为f (x)的总体样本，关于f (x)有假设检验问题:H0:f(x)?f0(x)?Ha:f(x)?f1(x)其中f0(x)和f1(x)都是已知函数，令W 为假设H0 的否定域，试通过f0(x)和f1(x)表示两类错误概率，(f0(x)不恒等于f1(x)).

（??，??）3.设X是上的均匀分布的一个观测值，考虑假设检验问题

1212H0:??3?Ha:??4, 构造检验法，使其功效函数?(?)满足

?(?)?0，当??3;?(?)?1,当??4).（即两类错误概率均匀为零）

4.设随机变量X的分布密数f(x)可取下面的f0(x)或f1(x):

f0(x)=??2x0?x?1?10?x?1, :f1(x)=?,基于一个观测 X ，来回答检验问题

其他其他?0?0H0:f(x)?f0(x)?Ha:f(x)?f1(x)取检验水平0,1, 求出使第二类错误概率?最小的检验法.

5．设随机变量 X 有分布密度f(x;?), ?末知,x1x2?，xn为X的样本，考虑假设检验问题:H0:?= ?0?Ha:???1, 其中?0??1是给定值，设a,b为给定的正常数，记L(x, ?)=?f(xi;?,) (x=(x1,?,xn)), 考虑如下检验法?*: 当a L(x,?0)>bL(x,?1)时接受H0, 当a L(x,?1)

**6．设X~ N (?,σ2), μ0已知, X1, X2, ?，Xn是X的样本，试分别求出下列检验问题的UMP检验（检验水平为?） (1) H0: ?22222(?0已知); (2).H0: ???1或?H a: ?2>?0??022?2??2(?1,?2已知,?1< ?2). ?H a: ?12

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???1或???2?H a:?1

8．设为参数未知的 Poisson 分布的样本，试选适当的检验水水平为，以下各题非常特别指出者皆同此）

9，设X1, X2, ?，Xn为参数 p未知的Bernoulli 分布b(1, p)的样本，试选适当的检验水平?求检验问题: H0: p = p0?H a: p?p0 (p0已知)的一致最大功效无偏检验（ UMPU 检验）

10．设X1, X2, ?，Xn是[0, ?]上的均匀分布的样本，求假设检验问题: H0:?=

?0?Ha:???0的UMP检验.

11．设X1, X2, ?，Xn是 N (?,1)的样本，对检验问题: H0: ??0?H a:?>0,

(1).求出?=0.025的UMP检验，并求出其功效函数?(?);（ 2 ）为了使??0.5时上述检验的功效?(?)?0.9，样本量 n 至少应取多大？（ 3 ）为了使??-0.1时?(?)?0.001,样本量 n 至少应取多大？

12．设X~ N (?,σ2), X1, X2, ?，Xn是X 的样本，?0是已知正数（1）对检验问题: H0: ?=?0?H a: ?>?0,找出UMP检验法;

（ 2 ）对检验问题: H0: ?=?0?H a: ?

13．由经验知某零件重量X~ N (?,σ2) , μ=15, ?=0.05, 技术革新后，抽了6个样品，测得重量（单位：克）为 14 .7 , 15 .1 , 14 .8, 15.0, 15.2， 14 .6已知方差不变，问平均重量是否仍为 15 ？（? = 0.05）

2?n?1?n?1???2?2x??2????1?14．设f n (x)是n个自由度的 t 分布的密度，即 fn(x)?,??n??n????nx??2?试证明:limfn(x)?n??12?e?x22（对一切x????,???）

15．设X1, X2, X3, X4为正态分布N(?,1)的样本, 对假设检验问题: H0:??10?H

a:?<10,求出水平?=0.1的UMP检验, 并求?=9时此检验法的功效, 求出?=11时接受H0的概率。

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1n?Xi?X?2=1.0, 16，从某正态总体中抽取了 9 个数据，得X= 0.4, S=?n?1i?1在水平0.05和0.01下分别检验:

(1) H0: ??0?H a:?>0; （2）H0: ??0?H a:?<0. 解释结果的意义，如果样本量增加到了25 ，而统计量X与 S 分别为0.4和1.0，再进行上面的检验并说明结果的意义。

17．某糖厂用自动打包机打包，每包重量为 100 公斤，每天开工后需要检验一下打包机工作是否正常，即检查打包机是否有系统偏差。某日开工后测得9包的重量（单位：公斤）为 99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 102.1, 100.5. 问：该日打包机工作是否正常？（? = 0.05）

18．正常人的脉搏平均为 72 次/分，某医生测得10例慢性四乙基铅中毒患者的脉搏（次/分）如下： 54, 67, 68, 78, 70, 66, 67, 70 , 65 , 69. 已知这些患者的脉搏服从正态分布，问: 四乙基铅中毒患者的脉搏与正常人的脉搏有无显著差异。?=0.05

19．用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底的温度，重复测量 7 次，测得温度（0C）为 112.0, 113.4, 111.2, 114.5, 112.9, 113.6. 而用某种精确方法测得的温度为112.6（可看作温度真值），试问：用热敏电阻测温仪间接测温有无系统偏差？（? = 0.05）

20．某工厂采用新法处理废水，对处理后的水测量所含某种有毒物质的浓度，得到10个数据（单位：毫克/升）：

22，14，17，13，21，16，15，16，19，18, 而以往用老法处理废水后，该 种有毒物质的平均浓度为19. 问：从对这种有毒物质的处理来看，新法是否比老法效果要好？（?=0.05）

21．有某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005(欧姆) 今在生产的一批导线中取样品9根，测得S=0.007 (欧姆)，设总体为正态分布，问在0.05水平下能认为这批导线的标准差显著地偏大吗

22．某机床厂某日从两面三刀台机器所加工的同一种零件中，分别抽若干个样测量零件尺寸，得:

第一台机器 6.2 5.7 6.5 6.0 6.3 5.8 5.7 6.0 6.0 5.8 6.0

第二台机器 5.6 5.9 5.6 5.7 5.8 6.0 5.5 5.7 5.5 问这两台机器的加工精密度是否有显著性差异？（?=0.05）.

23．检查了26匹马，测得每100毫升的血清中，所含无机磷平均为3.29毫升，标准差为0.27毫升，又检查了18头羊，100毫升的血清中含无机磷平均为3.96毫升，标准差为0.40毫升，试以0.05的检验水平，检验马与羊的血清中含无机磷的量是否有显著性差异？

24．10个失眠患者，服用甲乙两种安眠药，延长睡眠时间（小时）如下表所示

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患者编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

甲安眠药 1.9 0.8 1.1 0.1 -0.1 4.4 5.5 1.6 4.6 3.4

乙安眠药 0.7 -1.6 -0.2 -1.2 -0.1 3.4 3.7 0.8 0 2.0

问:这两种安眠药的疗效有无显著性差异？（可以认为服用两种安眠药后增加的睡眠时间之差近似服从正态分布，?=0.05）

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