第五节 二次函数与幂函数

[备考方向要明了]

考 什 么 1.了解幂函数的概念． 怎 么 考 1.以集合为载体，考查二次方程的解集，二次函数的12.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，定义域、值域或二次不等式的解集，如2012年北京xy＝x的图象，了解它们的变化情况． 3.掌握二次函数的概念、图象特征． 4.掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值． 5.掌握二次函数、二次方程、二次不等式之间的密切关系，提高解综合问题的能力.

[归纳·知识整合]

1．二次函数的解析式

(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式为f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)； (3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x1，x2，则其解析式为f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

2．二次函数的图象和性质

图象 定义域 值域 X∈R a>0 a<0 12T1，浙江T1等． 2.以二次函数的图象为载体，利用数形结合的思想解决二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上的最值以及与此有关的参数范围的问题，如2012年北京T4等． 3.一元二次方程根的分布也是高考考查的重点，如2012年江苏T13等. ?4ac－b2，＋∞? ?4a??－∞，4ac－b2? 4a??单调性 b－∞，－?上递减，在在?2a??b－∞，－?上递增，在在?2a???－b，＋∞?上递增 ?2a??－b，＋∞?上递减 ?2a?奇偶性 b＝0时为偶函数，b≠0既不是奇函数也不是偶函数 b①对称轴：x＝－； 2ab4ac－b2??②顶点：－， 4a??2a图象特点

[探究] 1.ax2＋bx＋c>0(a≠0)与ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件分别是什么？其几何意义如何？

提示：(1)ax2＋bx＋c>0方；

??a>0，

恒成立的充要条件是?其几何意义是抛物线恒在x轴上

?Δ<0，?

(2)ax2＋bx＋c<0

??a<0，

恒成立的充要条件是?其几何意义是抛物线恒在x轴下方．

?Δ<0，?

3．幂函数的定义

形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． 4．五种幂函数的图象

5．五种幂函数的性质

函数 特征 性质 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x 12y＝x1 －值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 x∈(0，＋∞) 单调性 增 x∈[0，＋∞) 时，增 x∈(－∞，0] 时，减 增 增 时，减 x∈(－∞，0) 时，减 [探究] 2.为何幂函数在第四象限没有图象？幂函数的图象最多出现在几个象限内？ 提示：幂函数y＝xα，当x>0时，根据幂运算，幂函数y＝xα>0恒成立，所以幂函数在第四象限没有图象；幂函数的图象最多只能出现在两个象限内．

11

3．函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝在区间(0,1)上图象的上、下位置与幂指数的

2x大小有什么关系？

提示：在区间(0,1)上幂指数越大其图象越靠下．

[自测·牛刀小试]

1．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为( )

A．f(x)＝x2－1 C．f(x)＝(x－1)2＋1

B．f(x)＝－(x－1)2＋1 D．f(x)＝(x－1)2－1

解析：选D 由图象开口向上且关于直线x＝1对称，可排除A、B选项；由图象过点(0,0)可排除C选项．

2．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5在x轴上方，则a的取值范围是( ) 1

0，? A.??20?1

，＋∞? C.??20?

1

－∞，－? B.?20??1

－，0? D.??20?

解析：选C ∵函数f(x)＝ax2＋x＋5在x轴上方，

??a>0，1

∴?即a>. 20

??Δ＝1－20a<0，

3．(教材习题改编)已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为( )

A．[0,1] C．(1,2]

B．[1,2] D．(1,2)

解析：选B 如图，由图象可知m的取值范围[1,2]．

4．(教材习题改编)如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知1

n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为( )

2

11

A．－2，－，，2

2211C．－，－2,2，

22

11

B．2，，－，－2

2211

D．2，，－2，－

22

解析：选B 由幂函数图象及其单调性之间的关系可知，曲线C1，C2，C3，C4所对应11

的n依次为2，，－，－2.

22

5．(教材习题改编)下列函数是幂函数的序号是________． 3－

①y＝2x；②y＝2x1；③y＝(x＋2)2；④y＝x2； ⑤y＝1. x

2113解析：y＝x2＝x，y＝＝x－故④⑤为幂函数．

32x答案：④⑤