9．问题发现：

（1）如图①，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD相交于点O，E是AB上点（点E不与A、B重合），将射线OE绕点O逆时针旋转90°，所得射线与BC交于点F，则四边形OEBF的面积为 4 ． 问题探究：

（2）如图②，线段BQ＝10，C为BQ上点，在BQ上方作四边形ABCD，使∠ABC＝∠ADC＝90°，且AD＝CD，连接DQ，求DQ的最小值；

问题解决：

（3）“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园，图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，AC＝600米．其中AB、BD、BC为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求AB+BD+BC的最大值． 解：（1）如图①中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°， ∵∠EOF＝90°， ∴∠EOF＝∠BOC， ∴∠EOB＝∠FOC， ∴△EOB≌△FOC（SAS）， ∴S△EOB＝S△OFC，

∴S四边形OEBF＝S△OBC＝?S正方形ABCD＝4

（2）如图②中，连接BD，取AC的中点O，连接OB，OD．

∵∠ABD＝∠ADC＝90°，AO＝OC， ∴OA＝OC＝OB＝OD， ∴A，B，C，D四点共圆，

∴∠DBC＝∠DAC， ∵DA＝DC，∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝∠DCA＝45°， ∴∠DBQ＝45°，

根据垂线段最短可知，当QD⊥BD时，QD的值最短，DQ的最小值＝

（3）如图③中，将△BDC绕点D顺时针旋转90°得到△EDA，

BQ＝5．

∵∠ABC+∠ADC＝180°，

∴∠BCD+∠BAD＝∠EAD+BAD＝180°， ∴B，A，E三点共线， ∵DE＝DB，∠EDB＝90°， ∴BE＝

BD，

BD，

∴AB+BC＝AB+AE＝BE＝∴BC+BC+BD＝（

+1）BD，

∴当BD最大时，AB+BC+BD的值最大， ∵A，B，C，D四点共圆， ∴当BD为直径时，BD的值最大， ∵∠ADC＝90°， ∴AC是直径，

∴BD＝AC时，AB+BC+BD的值最大，最大值＝600（

+1）．

10．在菱形ABCD中，点Q为边AB上一点，点F为BC边上一点，连接DQ、DF和QF

（1）如图1，若∠ADQ＝∠FDQ，∠FQD＝90°．求证；AQ＝BQ；

（2）如图2，在（1）的条件下，∠BAD＝120°，对角线AC、BD相交于点P，以点P为顶点作∠MPN＝60°，PM与AB交于点M，PN与AD交于点N．求证：DN+QM＝AB． 证明：（1）如图1，分别延长FQ、DA交于L， ∵∠ADQ＝∠FDQ，DQ＝DQ，∠FQD＝∠LQD＝90°， ∴△FQD≌△LQD（ASA）， ∴FQ＝LQ， ∵菱形ABCD， ∴LD∥BF，

∴∠ALQ＝∠BFQ，∠LAQ＝∠FBQ， ∴△ALQ≌△BFQ（AAS）， ∴AQ＝BQ；

（2）如图2，连接QP， ∵菱形ABCD，

∴∠BAP＝∠DAP，PA＝PC，AC⊥BD， ∴∠APB＝∠APD＝90°， ∵∠BAD＝120°， ∴∠BAP＝∠DAP＝60°， ∴∠ABP＝30°， ∴PA＝AB， ∵AQ＝BQ， ∴PQ＝AB， ∴PA＝PQ，

∴△APQ是等边三角形，