4．如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一动点（不与点B，C重合），点B关于 直线AP的对称点为E，连接AE．连接DE并延长交射线AP于点F，连接BF． （1）若∠BAP＝α，直接写出∠ADF的大小（用含α的式子表示）； （2）求证：BF⊥DF；

（3）连接CF，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．

（1）解：由轴对称的性质得：∠EAP＝∠BAP＝α，AE＝AB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∴∠DAE＝90°﹣2α，AD＝AE，

∴∠ADF＝∠AED＝（180°﹣∠DAE）＝（90°+2α）＝45°+α； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∵点E与点B关于直线AP对称， ∴∠AEF＝∠ABF，AE＝AB． ∴AE＝AD． ∴∠ADE＝∠AED． ∵∠AED+∠AEF＝180°，

∴在四边形ABFD中，∠ADE+∠ABF＝180°， ∴∠BFD+∠BAD＝180°， ∴∠BFD＝90° ∴BF⊥DF；

（3）解：线段AF，BF，CF之间的数量关系为AF＝过点B作BM⊥BF交AF于点M，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，

BF+CF，理由如下：

∴AB＝CB，∠ABC＝90°， ∴∠ABM＝∠CBF，

∵点E与点B关于直线AP对称，∠BFD＝90°， ∴∠MFB＝∠MFE＝45°， ∴△BMF是等腰直角三角形， ∴BM＝BF，FM＝

BF，

，

在△AMB和△CFB中，∴△AMB≌△CFB（SAS）， ∴AM＝CF， ∵AF＝FM+AM， ∴AF＝

BF+CF．

5．如图1，已知等腰Rt△ABC中，E为边AC上一点，过E点作EF⊥AB于F点，以为边作正方形，且AC＝3，EF＝

．

（1）如图1，连接CF，求线段CF的长；

（2）将等腰Rt△ABC绕点旋转至如图2的位置，连接BE，M点为BE的中点，连接MC，

MF，求MC与MF关系．

解：（1）如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝3， ∴AB＝3

，

过点C作CM⊥AB于M，连接CF，

∴CM＝AM＝AB＝，

∵四边形AGEF是正方形， ∴AF＝EF＝

，

﹣

，

＝

＝

；

∴MF＝AM﹣AF＝在Rt△CMF中，CF＝

（2）CM＝FM，CM⊥FM， 理由：如图2，

过点B作BH∥EF交FM的延长线于H，连接CF，CH，

∴∠BHM＝∠EFM， ∵四边形AGEF是正方形， ∴EF＝AF

∵点M是BE的中点， ∴BM＝EM，

在△BMH和△EMF中，

，

∴△BMH≌△EMF（AAS）， ∴MH＝MF，BH＝EF＝AF ∵四边形AGEF是正方形，

∴∠FAG＝90°，EF∥AG， ∵BH∥EF， ∴BH∥AG，

∴∠BAG+∠ABH＝180°，

∴∠CBH+∠ABC+∠BAC+∠CAG＝180°． ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝45°， ∴∠CBH+∠CAG＝90°， ∵∠CAG+∠CAF＝90°， ∴∠CBH＝∠CAF， 在△BCH和△ACF中，

，

∴△BCH≌△ACF（SAS）， ∴CH＝CF，∠BCH＝∠ACF，

∴∠HCF＝∠BCH+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝90°， ∴△FCH是等腰直角三角形， ∵MH＝MF， ∴CM＝FM，CM⊥FM；

6．如图在直角坐标系中，四边形ABCO为正方形，A点的坐标为（a，0），D点的坐标为（0，

b），且a，b满足（a﹣3）2+|b﹣

（1）求A点和D点的坐标；

|＝0．

（2）若∠DAE＝∠OAB，请猜想DE，OD和EB的数量关系，说明理由．

（3）若∠OAD＝30°，以AD为三角形的一边，坐标轴上是否存在点P，使得△PAD为等腰三角形，若存在，直接写出有多少个点P，并写出P点的坐标，选择一种情况证明．