∵∠ABD＝90°， ∴BD＝

2．如图1，在矩形ABCD中AB＝4，BC＝8，点E、F是BC、AD上的点，且BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形．

（2）如果四边形AECF是菱形，求这个菱形的边长．

（3）如图2，在（2）的条件下，取AB、CD的中点G、H，连接DG、BH，DG分别交AE、

＝

＝

．

CF于点M、Q，BH分别交AE、CF于点N、P，求点P到BC的距离并直接写出四边形MNPQ的面积．

（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，BE＝DF， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴AF∥EC，AF＝EC，

∴四边形AECF为平行四边形； （2）解：设菱形AECF的边长为x， ∵四边形AECF为菱形，AB＝4，BC＝8， ∴AE＝EC＝x，BE＝8﹣x，

在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2即x2＝42+（8﹣x）2 解得：x＝5，

∴菱形AECF的边长为5；

（3）解：连接GH交FC于点K，设点P到BC的距离为h，如图2所示： ∵G、H分别为AB、CD的中点， ∴KH是△CDF的中位线，CH＝2， ∴KQ∥DF， ∴△PKH∽△PCB，

∴＝，

∵四边形AECF是菱形， ∴AE＝AF＝CF＝5， ∵DF＝AD﹣AF＝8﹣5＝3， ∴KH＝1.5， ∴

＝

＝， ，

，

＝

，

×8×2﹣×3×

＝

，

，

解得h＝∴

＝

∵P到BC的距离

∴N到BC的距离为×

∴四边形NECP的面积为×8×2﹣×∵菱形AECF面积为CE×CD＝5×4＝20， ∴四边形MNPQ面积为20﹣2×

＝

．

3．如图①，在矩形ABCD中，已知BC＝8cm，点G为BC边上一点，满足BG＝AB＝6cm，动点

E以1cm/s的速度沿线段BG从点B移动到点G，连接AE，作EF⊥AE，交线段CD于点F．设

点E移动的时间为t（s），CF的长度为y（cm），y与t的函数关系如图②所示． （1）图①中，CG＝ 2 cm，图②中，m＝ 2 ；

（2）点F能否为线段CD的中点？若可能，求出此时t的值，若不可能，请说明理由； （3）在图①中，连接AF，AG，设AG与EF交于点H，若AG平分△AEF的面积，求此时t的值．

解：（1）∵BC＝8cm，BG＝AB＝6cm， ∴CG＝2cm， ∵EF⊥AE，

∴∠AEB+∠FEC＝90°，且∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠FEC，且∠B＝∠C＝90°， ∴△ABE∽△ECF， ∴∵t＝6，

∴BE＝6cm，CE＝2cm， ∴

，

∴CF＝2cm， ∴m＝2， 故答案为：2，2； （2）若点F是CD中点， ∴CF＝DF＝3cm， ∵△ABE∽△ECF， ∴∴

，

∴EC2﹣8EC+18＝0 ∵△＝64﹣72＝﹣8＜0， ∴点F不可能是CD中点；

（3）如图①，过点H作HM⊥BC于点M，

∵∠C＝90°，HM⊥BC， ∴HM∥CD， ∴△EHM∽△EFC， ∴

∵AG平分△AEF的面积， ∴EH＝FH， ∴EM＝MC，

∵BE＝t，EC＝8﹣t， ∴EM＝CM＝4﹣t， ∴MG＝CM﹣CG＝2﹣， ∵∴∴CF＝

，

∵EM＝MC，EH＝FH， ∴MH＝CF＝∵AB＝BG＝6，

∴∠AGB＝45°，且HM⊥BC， ∴∠HGM＝∠GHM＝45°， ∴HM＝GM， ∴

＝2﹣，

∴t＝2或t＝12，且t≤6， ∴t＝2．