20. (本小题满分16分)

已知无穷数列{an}的各项均为正整数，其前n项和为Sn.记Tn为数列{an}的前an项和，即Tn＝a1

＋a2＋…＋an.

(1) 若数列{an}为等比数列，且a1＝1，S4＝5S2，求T3的值；

Tn

(2) 若数列{an}为等差数列，且存在唯一的正整数n(n≥2)，使得<2，求数列{an}的通项公式；

an

(3) 若数列{Tn}的通项为Tn＝

n（n＋1）

，求证：数列{an}为等差数列. 2

数学附加题

(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. (选修42：矩阵与变换) 已知矩阵M＝[(1) 求矩阵N；

(2) 求矩阵N的特征值．

B. (选修44：坐标系与参数方程)

x＝2t，??

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?12(t为参数)，以原点O为极点，x轴的

??y＝2tπ

正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ－)＝2.若直线l交曲线C于A，B两

4点，求线段AB的长．

C. (选修45：不等式选讲) 已知a＞0，求证：11a2＋2－2≥a＋－2.

aa1221

]，MN＝[

1001

]．

【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1～6点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖；若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖；否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)．

(1) 若m＝4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；

(2) 若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．

23.已知集合An＝{1，2，…，n}，n∈N*，n≥2，将An的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(M1，M2，…，Mm)，其中m＝2n.记集合Mk中元素的个数为ak，k∈N*，k≤m，规定空集中元素的个数为0.

(1) 当n＝2时，求a1＋a2＋…＋am的值；

(2) 利用数学归纳法证明：不论n(n≥2)为何值，总存在有序集合组(M1，M2，…，Mm)，满足任意i∈N*，i≤m－1，都有|ai－ai＋1|＝1.

2020届高三模拟考试试卷(南京、盐城)

数学参考答案及评分标准

π11225

1. {1，3} 2. 5 3. － 4. 325 5. 6. 0 7. 8. 65π 9. 5 10. 11. 8 12. ±

422251

13. 2 14. (1，＋ln 2)

2

15. 证明：(1) 因为点D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC.(2分) 因为AC?平面PDE，DE?平面PDE，所以AC∥平面PDE.(4分) 1

(2) 因为点D，E分别为AB，BC的中点，所以DE＝AC.

2因为AC＝2，所以DE＝1.

因为PD＝2，PE＝3，所以PD2＝PE2＋DE2， 因此在△PDE中，PE⊥DE.(8分)

又平面PDE⊥平面ABC，且平面PDE∩平面ABC＝DE，PE?平面PDE， 所以PE⊥平面ABC.(12分)

因为PE?平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.(14分) 16. 解：(1) 因为a＝bcos C＋csin B， 由

abc＝＝，得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．(2分) sin Asin Bsin C

因为sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， 所以sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Bcos C＋sin Csin B， 即cos Bsin C＝sin Csin B．(4分)

因为0＜C＜π，所以sin C≠0，所以sin B＝cos B.

π

又0＜B＜π，所以sin B≠0，从而cos B≠0，所以tan B＝1，所以B＝.(6分)

4(2) 因为AD是∠BAC的平分线，设∠BAD＝θ，所以A＝2θ.

7779

因为cos A＝－，所以cos 2θ＝cos A＝－，即2cos2θ－1＝－，所以cos2θ＝.

25252525π34

因为0＜A＜π，所以0＜θ＜，所以cos θ＝，所以sin θ＝1－cos2θ＝.

255