∴∠BPE=∠QPF，

∴Rt△PQF≌Rt△PBE， ∴PB=PQ；

（2）PB=PQ， 证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD， ∵P，C为正方形对角线AC上的点， ∴PC平分∠DCB，

∠DCB=90°， ∴PF=PE， ∴四边形PECF为正方形， ∵∠BPE+∠QPE=90°，

∠QPE+∠QPF=90°，

∴∠BPE=∠QPF，

∴Rt△PQF≌Rt△PBE， ∴PB=PQ．

点评：

此题考查了正方形，角平分线的性质，以及全等三角形判定与性质．此题综

合性较强，注意数形结合思想．

9．如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP=，Q为CD中点，则下列结论：

①∠PBC=∠PQD；②BP=PQ；③∠BPC=∠BQC；④正方形ABCD的面积是16； 其中正确结论的个数是（ ）

A． 4 B．3

考点：

正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 分析：

根据对角互补的四边形，则四边形共圆，根据圆周角定理得出

∠BPC=∠BQC，根据

∠PBC=∠PQD

，过P作

PM⊥AD于M，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，则E、P、F三点共线，推出正方形AEPM，根据勾股定理求出AE=PE=PM=AM=DF=1，证△BEP≌△PFQ，推出

PE=FQ=1，BP=PQ，求出DQ、DC，即可． 解答：

解：

∵四边形

C． 2 D．1

ABCD是正方形，

∴∠BCQ=90°， ∵PQ⊥PB， ∴∠BPQ=90°， ∴∠BPQ+∠BCQ=180°，

∴B、C、Q、P四点共圆， ∴∠PBC=∠PQD，

∠BPC=∠BQC，∴①正确；③正确；

过P作PM⊥AD于M，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，则E、P、F三点共线， ∵四边形

ABCD是正方形，

∴AB=AD=DC=BC，

∠DAC=∠BAC，∠DAB=90°， ∴∠MAE=∠PEA=∠PMA=90°，PM=PE， ∴四边形

AMPE是正方形，

∴AM=PM=PE=AE，

∵AP=， ∴在Rt△AEP中，由勾股定理得：AE2+PE2=（）2， 解得：

AE=AM=PE=PM=1， ∴DF=1， 设

AB=BC=CD=AD=a，

则BE=PF=a﹣1，

∵∠BEP=∠PF

Q=∠BPQ=90°， ∴∠BPE+∠EBP=90°，

∠EPB+∠FPQ=90°，

∴∠EBP=∠FPQ，

在△BEP和△PFQ中

，

∴△BEP≌△PFQ（ASA）， ∴PE=FQ=1，BP=PQ，∴②正确；

∴DQ=1+1=2， ∵Q为CD中点，

∴DC=2DQ=4， ∴正方形

ABCD的面积是4×4=16，∴④正确； 故选A． 本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的内角和定理等知识点，主要考查学生的推理能力，题目综合性比较强，有一定的难度．

点评：

10．如图1，直角∠EPF的顶点和正方形ABCD的顶点C重合，两直角边PE，PF分别和AB，AD所在的直线交于点E和F．易得△PBE≌△PDF，故结论“PE=PF”成立；

（1）如图2，若点P在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由； （2）如图（3）将（2）中正方形ABCD改为矩形ABCD其他条件不变，若AB=m，BC=n，直接写出

的值．