正方形与全等模型(含答案) 下载本文

∴∠BPE=∠QPF,

∴Rt△PQF≌Rt△PBE, ∴PB=PQ;

(2)PB=PQ, 证明:过P作PE⊥BC,PF⊥CD, ∵P,C为正方形对角线AC上的点, ∴PC平分∠DCB,

∠DCB=90°, ∴PF=PE, ∴四边形PECF为正方形, ∵∠BPE+∠QPE=90°,

∠QPE+∠QPF=90°,

∴∠BPE=∠QPF,

∴Rt△PQF≌Rt△PBE, ∴PB=PQ.

点评:

此题考查了正方形,角平分线的性质,以及全等三角形判定与性质.此题综

合性较强,注意数形结合思想.

9.如图,正方形ABCD,点P是对角线AC上一点,连接BP,过P作PQ⊥BP,PQ交CD于Q,连接BQ交AC于G,若AP=,Q为CD中点,则下列结论:

①∠PBC=∠PQD;②BP=PQ;③∠BPC=∠BQC;④正方形ABCD的面积是16; 其中正确结论的个数是( )

A. 4 B.3

考点:

正方形的性质;全等三角形的判定与性质. 分析:

根据对角互补的四边形,则四边形共圆,根据圆周角定理得出

∠BPC=∠BQC,根据

∠PBC=∠PQD

,过P作

PM⊥AD于M,PE⊥AB于E,PF⊥DC于F,则E、P、F三点共线,推出正方形AEPM,根据勾股定理求出AE=PE=PM=AM=DF=1,证△BEP≌△PFQ,推出

PE=FQ=1,BP=PQ,求出DQ、DC,即可. 解答:

解:

∵四边形

C. 2 D.1

ABCD是正方形,

∴∠BCQ=90°, ∵PQ⊥PB, ∴∠BPQ=90°, ∴∠BPQ+∠BCQ=180°,

∴B、C、Q、P四点共圆, ∴∠PBC=∠PQD,

∠BPC=∠BQC,∴①正确;③正确;

过P作PM⊥AD于M,PE⊥AB于E,PF⊥DC于F,则E、P、F三点共线, ∵四边形

ABCD是正方形,

∴AB=AD=DC=BC,

∠DAC=∠BAC,∠DAB=90°, ∴∠MAE=∠PEA=∠PMA=90°,PM=PE, ∴四边形

AMPE是正方形,

∴AM=PM=PE=AE,

∵AP=, ∴在Rt△AEP中,由勾股定理得:AE2+PE2=()2, 解得:

AE=AM=PE=PM=1, ∴DF=1, 设

AB=BC=CD=AD=a,

则BE=PF=a﹣1,

∵∠BEP=∠PF

Q=∠BPQ=90°, ∴∠BPE+∠EBP=90°,

∠EPB+∠FPQ=90°,

∴∠EBP=∠FPQ,

在△BEP和△PFQ中

∴△BEP≌△PFQ(ASA), ∴PE=FQ=1,BP=PQ,∴②正确;

∴DQ=1+1=2, ∵Q为CD中点,

∴DC=2DQ=4, ∴正方形

ABCD的面积是4×4=16,∴④正确; 故选A. 本题考查了正方形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,勾股定理,三角形的内角和定理等知识点,主要考查学生的推理能力,题目综合性比较强,有一定的难度.

点评:

10.如图1,直角∠EPF的顶点和正方形ABCD的顶点C重合,两直角边PE,PF分别和AB,AD所在的直线交于点E和F.易得△PBE≌△PDF,故结论“PE=PF”成立;

(1)如图2,若点P在正方形ABCD的对角线AC上,其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?说明理由; (2)如图(3)将(2)中正方形ABCD改为矩形ABCD其他条件不变,若AB=m,BC=n,直接写出

的值.