30．如图，四边形ABCD位于平面直角坐标系的第一象限，B、C在x轴上，A点函数AD∥x轴，B（1，0）、C（3，0）． （1）试判断四边形ABCD的形状；

上，且AB∥CD∥y轴，

（2）若点P是线段BD上一点PE⊥BC于E，M是PD的中点，连EM、AM．求证：AM=EM；

（3）在图（2）中，连接AE交BD于N，则下列两个结论： ①

值不变；

②

的值不变．其中有且仅有一个是正确的，请选择正确的结论证明并求其值．

参考答案与试题解析

一．选择题（共16小题）

1．如图，在正方形ABCD中．

（1）若点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF．试判断DE与CF的数量及位置关系，并说明理由；

（2）若P、Q、M、N是正方形ABCD各边上的点，PQ与MN相交，且PQ=MN，问PQ⊥MN成立吗？为什么？

考点： 专题： 分析：

正方形的性质． 探究型．

（1）由已知易得

△DAE≌△CD

解答：

F，故有DE=CF． （2）由点N，Q分别向AB，AD作垂线，构造两直角三角形全等，由角的等量代换，易得QP⊥MN． 解：（1）在正方形ABCD中，AD=DC，AE=DF，

∠EAD=∠FDC， 所以

△EAD≌△FDC，故DE=CF， ∴∠EDA=∠FCD， 又

∵∠DCF+∠DFC=90°，

∴∠ADE+∠DFC=90°， ∴∠DGF=90° 即DE⊥CF． （2）由点N，Q分别向AB，AD作垂线，

∵PQ=MN，RN=SQ， ∴△MNR≌△QPS（HL）， ∴∠PQS=∠MNR，又

∠1+∠PQS=90°， 所以

∠1+∠MNR=90°，即MN⊥PQ．

点评：

解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．

2．如图，直线MN不与正方形的边相交且经过正方形ABCD的顶点D，AM⊥MN于M，CN⊥MN于N，BR⊥MN于R．

（1）求证：△ADM≌△DCN： （2）求证：MN=AM+CN；

（3）试猜想BR与MN的数量关系，并证明你的猜想．

考点：

正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 证明题；探究型．

此题分三问进行，三问都与三角形全等直接相关，所以要紧扣三角形全等的判定方法进行思考． （1）要证

△ADM≌△DC

专题： 分析：

解答：

N，由于它们都是直角三角形，所以首先有直角相等，又由ABCD是正方形有AD=DC，再找一个条件即可，而由图形很容易分析得出

∠ADM=∠DCN；

（2）的关键是合理添加辅助线，通过等量代换等到结论； （3）首先结合前面的结论再结合图形合理猜想，然后再结合前面的结论认真推理，细致证明即可． （1）证明：