集 体 备 课 教 案
课题 教（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正 目（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一标 些与测量和几何计算有关的实际问题。 对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形命状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。今 走后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形向 为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题。 教学多媒体课件 准备 正、余弦定理及应用（共 6 课时） 修改与创新 学弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；
一．知识梳理： 1．直角三角形中各元素间的关系： 如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 （1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。 2．斜三角形中各元素间的关系： 教如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分acbcab学别表示A、B、C的对边。 过程 （1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正 弦的比相等。 abc???2R。 sinAsinBsinC（R为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。 3．三角形的面积公式： （1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、121212c上的高）；
（2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB； a2sinBsinCb2sinCsinAc2sinAsinB（3）△＝＝＝； 2sin(B?C)2sin(C?A)2sin(A?B)121212（4）△＝2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径） （5）△＝abc； 4R?12??（6）△＝s(s?a)(s?b)(s?c)；??s?(a?b?c)?； （7）△＝r·s。 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形。 解斜三角形的主要依据是： 设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。 （1）角与角关系：A+B+C = π； （2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b； （3）边与角关系： 正弦定理 abc???2R（RsinAsinBsinC为外接圆半径）； 余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，
a2 = b2+c2－2bccosA； 它们的变形形式有：a = 2R sinA，b2?c2?a2cosA?2bcsinAa?sinBb，。 5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 （1）角的变换 因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=sin－cosC；tan(A+B)=－tanC。A?BCA?BC?cos,cos?sin； 2222（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r为三角形内切圆半径，p为周长之半。 （3）在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列。 二．典例分析 (2012·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝3acos B. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． (1)由bsin A＝3acos B及正弦定理