生活的色彩就是学习

增.所以g(x)?h(x)?h(2)?0．所以g(x)=0在(0,??)没有实根，综上，g(x)=0在R上有唯一实根，即曲线y?f(x)与直线y?kx?2只有一个交点.

x4. 【2012全国新课标，文21】设函数f(x)＝e－ax－2． (1)求f(x)的单调区间；

(2)若a＝1，k为整数，且当x＞0时，(x－k)f′(x)＋x＋1＞0，求k的最大值． 【解析】：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝e－a. 若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 若a＞0，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)＜0； 当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)＞0，

所以，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增． (2)由于a＝1，所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(e－1)＋x＋1. 故当x＞0时，(x－k)f′(x)＋x＋1＞0等价于k＜令g(x)＝

xxx?1＋x(x＞0)．① ex?1x?1＋x， ex?1?xex?1ex?ex?x?2?则g'(x)?x. ?1?2x2?e?1??e?1?由(1)知，函数h(x)＝e－x－2在(0，＋∞)上单调递增． 而h(1)＜0，h(2)＞0，

所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点． 故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点． 设此零点为α，则α∈(1,2)． 当x∈(0，α)时，g′(x)＜0； 当x∈(α，＋∞)时，g′(x)＞0.

所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)． K12的学习需要努力专业专心坚持

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又由g′(α)＝0，可得e＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2,3)． 由于①式等价于k＜g(α)，故整数k的最大值为2.

5. 【2010全国2，文21】已知函数f(x)＝x－3ax＋3x＋1. (1)设a＝2，求f(x)的单调区间；

(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．

3

2

α

(2)f′(x)＝3(x－a)＋1－a]．

当1－a≥0时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点； 当1－a＜0时，f′(x)＝0有两个根

22

22

x1＝a－a2?1或x2＝a＋a2?1.

由题意知：2＜a－a?1＜3， ① 或2＜a＋a?1＜3. ② ①式无解，②式的解为

225555＜a＜.因此a的取值范围是(，)． 43436. 【2007全国2，文22】（本小题满分12分） 已知函数f(x)=

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ax-bx+(2-b)x+1 3在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且0＜x1＜1＜x2＜2. （1）证明a＞0;

（2）若z=a+2b,求z的取值范围。

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当x?x1时，f(x)为增函数，f?(x)?0，由x?x1?0，x?x2?0得a?0.

?f?(0)?0?2?b?0??（Ⅱ）在题设下，0?x1?1?x2?2等价于?f?(1)?0 即?a?2b?2?b?0.

?f?(2)?0?4a?4b?2?b?0???2?b?0?化简得?a?3b?2?0.

?4a?5b?2?0?4a?5b?2?0. 此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：2?b?0，a?3b?2?0，所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为：A?，?，B(2，，2)C(4，2). 在这三点的值依次为

?46??77?16，6，8. 7所以的取值范围为??16?，8?. 7??7. 【2005全国3，文21】(本小题满分12分)

用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

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8.【2017新课标2，文21】（12分）

设函数f(x)?(1?x2)ex. （1）讨论f(x)的单调性；

（2）当x?0时，f(x)?ax?1，求的取值范围.

【答案】（1）在(??,?1?2)和(?1?2,??)单调递减，在(?1?2,?1?2)单调递增；（2）

[1,??).

【解析】

试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间；（2）对分类讨论，当a≥1时，f(x)?(1?x)(1?x)e?1?x?ax?1，满足条件；当a?0时，取

xx0?5?15?4a?1， ,f(x0)?(1?x0)(1?x0)2?1?ax0?1，当0＜a＜1时，取x0?22f(x0)?(1?x0)(1?x0)2?ax0?1.

试题解析：（1）f?(x)?(1?2x?x2)ex. 令f?(x)?0得x??1?2，x??1+2. 当x?(??,?1?2)时，f?(x)?0；当x?(?1?2,?1?，f?(x)?0. x?(?1?2,?时?)时，f?(x)?0；当2)K12的学习需要努力专业专心坚持