生活的色彩就是学习

专题03 导数

一．基础题组

1. 【2010全国新课标，文4】曲线y＝x－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为…( ) A．y＝x－1 B．y＝－x＋1 C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2 【答案】：A

【解析】y′|x＝1＝(3x－2)|x＝1＝1，因此曲线在(1,0)处的切线方程为y＝x－1.

2. 【2010全国2，文7】若曲线y＝x＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 【答案】：A

【解析】∵y′＝2x＋a，∴k＝y′|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线：0－b＋1＝0，∴b＝1，∴a＝1，b＝1.

2

2

3

x2y?4的一条切线的斜率为1,则切点的横坐标为( ) 3. 【2007全国2，文8】已知曲线

2(A)1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

【答案】：A

【解析】f'（x）=x/2，k=f'(x)=x/2=1/2，x=1，所以：切点的横坐标是1.

4. 【2012全国新课标，文13】曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为__________． 【答案】：4x－y－3＝0

5. 【2005全国3，文15】曲线y?2x?x3在点（1，1）处的切线方程为 . 【答案】x+y-2=0

【解析】y'?2?3x2，k??1，∴切线方程为y?1??1?(x?1)，即x?y?2?0. 6. 【2015新课标2文数】已知曲线y?x?lnx在点?1,?1 处的切线与曲线

y?ax2??a?2?x?1 相切,则a= ．

【答案】8

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生活的色彩就是学习 【解析】

试题分析：由y??1?1可得曲线y?x?lnx在点?1,1处的切线斜率为2,故切线方程为?xy?2x?1,与y?ax2??a?2?x?1 联立得ax2?ax?2?0,显然a?0,所以由 ??a2?8a?0?a?8.

【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题. 二．能力题组

1. 【2013课标全国Ⅱ，文21】(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xe. (1)求f(x)的极小值和极大值；

(2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．

2－x

(2)设切点为(t，f(t))，

则l的方程为y＝f′(t)(x－t)＋f(t)． 所以l在x轴上的截距为m(t)＝t?f(t)t2?t??t?2??3. f'(t)t?2t?2由已知和①得t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)． 令h(x)＝x?2(x≠0)，则当x∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为22，＋∞)； x当x∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．

所以当t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪22?3，＋∞)． 综上，l在x轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪22?3，＋∞)． 2. 【2005全国2，文21】(本小题满分12分)

设为实数，函数f(x)?x3?x2?x?a． (Ⅰ) f(x)的极值；

(Ⅱ) 当在什么范围内取值时，曲线y?f(x)与轴仅有一个交点． 【解析】：(I)f'(x)=3x－2－1 K12的学习需要努力专业专心坚持

2生活的色彩就是学习 若f'(x)=0，则==－

1， =1 3当变化时，f'(x)，f(x)变化情况如下表：

(－∞，－ 1) 3+ －1 3(－1，1) 3－ 1 (1，+∞) f'(x) f(x) 0 极大值 0 极小值 + ∴f(x)的极大值是f(?)?135?a，极小值是f(1)?a?1 27∴当a?(??,?5)∪(1，+∞)时，曲线y=f(x)与轴仅有一个交点。 27x

2

3. 【2010全国新课标，文21】设函数f(x)＝x(e－1)－ax. (1)若a＝

1，求f(x)的单调区间； 2 (2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．

【解析】：(1)a＝

112x时，f(x)＝x(e－1)－x， 22f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．

当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0； 当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0； 当x∈(0，＋∞)时f′(x)＞0.

故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调增加，在(－1,0)上单调减少． (2)f(x)＝x(e－1－ax)．

令g(x)＝e－1－ax，则g′(x)＝e－a.

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若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，则g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0， 即f(x)≥0.

若a＞1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，而g(0)＝0， 从而当x∈(0，lna)时g(x)＜0，即f(x)＜0. 综合得a的取值范围为(－∞，1]． 三．拔高题组

1. 【2014全国2，文11】若函数f?x??kx?Inx在区间?1,???单调递增，则的取值范围是（ ）

（A）???,?2? （B）???,?1? （C）?2,??? （D）?1,??? 【答案】D

2. 【2013课标全国Ⅱ，文11】已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c，下列结论中错误的是( )． A．?x0∈R，f(x0)＝0

B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形

C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0 【答案】：C

【解析】：若x0是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图像大致如下图所示，则在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．

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3. 【2014全国2，文21】（本小题满分12分） 已知函数

曲线y?f(x)在点(0,2)处的切线与轴交点的横坐标为f(x)?x3?3x2?ax?2，

?2.

（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）证明：当k?1时，曲线y?f(x)与直线y?kx?2只有一个交点.

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