第8课 分式方程与二次根式方程

〖知识点〗

分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、增根 〖大纲要求〗

了解分式方程、二次根式方程的概念。掌握把简单的分式方程、二次根式方程转化为一元一次方程、一元二次方程的一般方法，会用换元法解方程，会检验。

内容分析

1．分式方程的解法 (1)去分母法

用去分母法解分式方程的一般步骤是：

（i)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； (ii)解这个整式方程；

(iii)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去.

在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入员简公分母. (2)换元法

用换元法解分式方程，也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后求出原来的未知数．

2．二次根式方程的解法 (1)两边平方法

用两边平方法解无理方程的—般步骤是：

(i)方程两边都平方，去掉根号，化成有理方程； (ii)解这个有理方程；

(iii)把有理方程的根代入原方程进行检验，如果适合，就是原方程的根，如果不适合，就是增根，必须舍去．

在上述步骤中，两边平方是关键，验根必须代入原方程进行． (2)换元法

用换元法解无理方程，就是把适当的根号下台有未知数的式子换成新的未知数，求出新的未知数后再求原来的未知数． 〖考查重点与常见题型〗

考查换元法解分式方程和二次根式方程，有一部分只考查换元的能力，常出现 在选择题中另一部分习题考查完整的解题能力，习题出现在中档解答题中。

考题类型

3xx－13x

1．（1）用换元法解分式方程2 ＋ ＝3时，设2 ＝y，原方程变形为（ ）

x－13xx－1 （A）y－3y＋1＝0（B）y＋3y＋1＝0（C）y＋3y－1＝0（D）y－y＋3＝0

2．用换元法解方程x＋8x＋x＋8x－11 ＝23，若设y＝x＋8x－11 ，则原方程可化为

（ ）

2222

（A）y＋y＋12＝0（B）y＋y－23＝0（C）y＋y－12＝0（D）y＋y－34=0 2xm＋1x＋1

3．若解分式方程 －2 ＝ 产生增根，则m的值是（ ）

x－1x＋xx （A）－1或－2 （B）－1或2 （C）1或2 （D）1或－2

2

2

2

2

2

2

2

2

29

41

4．解方程 － ＝1时，需将方程两边都乘以同一个整式（各分母的最简公分母），约

xx－1去分母，所乘的这个整式为（ ）

（A）x－1 （B）x（x－1） （C）x （D）x＋1

5．先阅读下面解方程x＋x－2 ＝2的过程，然后填空. 解：（第一步）将方程整理为x－2＋x－2 ＝0；（第二步）设y＝x－2 ，原方程可化为2

y＋y＝0；（第三步）解这个方程的 y1＝0，y2＝－1（第四步）当y＝0时，x－2 ＝0；解得 x＝2，当y＝－1时，x－2 ＝－1，方程无解；（第五步）所以x＝2是原方程的根以上解题过程中，第二步用的方法是＿＿＿，第四步中，能够判定方程x－2 ＝－1无解原根据是＿＿。上述解题过程不完整，缺少的一步是＿＿＿。 考点训练：

1． 给出下列六个方程：1）x－2x＋2＝0 2）x－2 ＝1－x 3）x－3 ＋x－2 ＝0 4）

111x

x＋1 ＋2＝0 5） ＋ ＝0 6） ＋1＝ 具中有实数解的方程有（ ）

xx－1x－1x－1（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）多于2个 2． 方程

2x1 －1＝ 的解是（ ） 2

x－4x＋2

2

（A）－1 （B）2或－1 （C）－2或3 （D）3

x－3m

3． 当分母解x 的方程 ＝ 时产生增根，则m的值等于（ ）

x－1x－1 （A）－2 （B）－1 （C）1. （D）2 4． 5． 6． 7．

方程2x－3 －x＋1 ＝0的解是＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 能使（x－5）x－7 ＝0成立的x是＿＿＿＿＿＿。

关于x的方程m(m－1)x＋3 ＝2x－15是根式方程，则m的取值范围是＿＿＿＿＿。 解下列方程：

2

12x＋1343xx－15

（1）2 － ＝ （2）2 ＋ ＝

2x－7x＋51－x 2x－5 x－13x 21712

（3）x＋2 － （x－ ）＋1＝0

x2x解题指导：

1．解下列方程：

2x－21

（1）x＋2 ＝x （2）2 ＋ ＝2

x－9 x(x－3) x＋3x62

（3）x＋2x＋2＝x－8 ＝32 2 （4）3x＋2 － （x＋1）独立训练

12

1．方程x(x＋1) ＝0的解是_______. 方程2x＋3 ＝－x的解是_______，方程

x－1＝

4

的解是___________ . x＋2

xx2

2．设y＝ ____时，分式方程（ ）＋5（ ）＋6＝0可转化为__________.

x－1 x－13．用换元法解方程2x－3x＋43x－2x＋5 ＋1＝0可设y ＝_________.从而把方程化为

_____________.

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2

2

4．下列方程有实数解的是（ ）

（A）x＋2 ＋5＝4 （B）3－x ＋x－3 ＝0

（C）x2

－2x＋4＝0 （D）236 x＋1 ＋x－1 ＝ x2－1

5．解下列方程.

(1) 1 x－2 =x＋2x＋411

x2－4 （2） x2＋2x － x＋2 ＝ x ＋1

（3）a－x4（b＋x） b＋x ＝5－a－x (a＋b≠0) （4）2－x ＋5－4x ＝2

(5) 2x2－4x－3x2－2x－4 ＝10 （6）4（x2

＋11 x2 ）－5（x－x ）－14＝0

（7）3x2

＋15x＋23x2＋15x＋1 ＝2 (8)

x＋2

x－15

x－1 ＋ x＋2 ＝ 2

6．若关于x的方程xx-2 - m+1x+1

x2+2 = x

+1产生增根，求m的值。

m为何值时，关于x的方程2x-2 - mx3

x2-4 = x+2 会产生增根。

7. 当a为何值时，方程x-18x+ax

x - 2x(x-1) + x-1 =0只有一个实数根。

方程xx+1 + x+1x = - 4x+a

x(x+1) 只有一个实数根，求a的值

8．当m为何值时，方程36x+mx + x-1 - x(x-1)

= 0有解

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第9课 方程组

〖知识点〗

方程组、方程组的解、解方程组、二元一次方程（组）、三元一次方程（组）、二元二次方程（组）、解方程组的基本思想、解方程组的常见方法。 〖大纲要求〗

了解方程组和它的解、解方程组等概念，灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组，并会解简单的三元一次方程组。掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的二元二次方程组成的方程组的解法。

内容分析

1. 方程组的有关概念

含有两个未知数并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程．两个二元—次方程合在一起就组成了一个—。元一次方程组．二元一次方程组可化为 ??ax?by?c, (a，b，m、n不全为零)的形式.

?mx?ny?r使方程组中的各个方程的左、右两边都相等的未知数的值，叫做方程组的解． 2.一次方程组的解法和应用

解二元(三元)一次方程组的一般方法是代入消元法和加减消元法． 3. 简单的二元二次方程组的解法

(1)可用代入法解一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组． （2)对于两个二元三次方程组成的方程组，如果其中一个可以分解因式，那么原方程组可以转化为两个由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组来解． 〖考查重点与常见题型〗

考查二元一次方程组、二元二次方程组的能力，有关试题多为解答题，也出现在选择题、填空题中，近年的中考试题中出现了有关的阅读理解题。

考题类型

22??6x-5xy+y=0 ?1?1.方程组 ?的解的个数（ ） 2??y=x+6x+4 ?2? A.4 B.3 C.2 D.1

?ax+by=4?x=22．方程组? 的解是? ，则a+b=

bx+ay=5y=1??3．若方程组 ?y=mx+2 ?1?没有实数解，则实数m的取值范围是（ ） 2y+4x+1=2y 2?????? A.m>1 B.m<-1 C.m<1且m≠0 D.m>-1且m≠0

22??x-3xy+2y=0 ?1?4.阅读：解方程组? 22 x+y=10 2????解：由①的(x-y)(x-2y)=0则x-y=0或x-2y=0 （第一步）

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