∴TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）,故在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件.

◆方法总结：圆过定点问题，可以先取特殊值或者极值，找出这个定点，再证明用直径所对圆周角为直角。

x2y22例题2：如图，已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率是，A1,A2分别是椭圆Cab2的左、右两个顶点，点F是椭圆C的右焦点。点D是x轴上位于A2右侧的一点，

112???2。 且满足

A1DA2DFD（1）求椭圆C的方程以及点D的坐标；

（2）过点D作x轴的垂线n，再作直线l:y?kx?m 与椭圆C有且仅有一个公共点P，直线l交直线n于点 Q。求证：以线段PQ为直径的圆恒过定点，并求出定 点的坐标。

A1解：（1）A1(?a,0),A2(a,0),F(c,0)，设D(x,0)， 由

1111??2， ??2有

x?ax?aA1DA2DyQlPOFA2Dxn11??2

c?1?ac?1?ac2?c?1?(c?1?a)(c?1?a)，又Q??a?2c，

a2x22?c?c?0，又c?0，?c?1,?a?2,b?1，椭圆C:?y2?1，且D(2,0)。

2?y?kx?mx2?22（2）方法1：QQ(2,2k?m)，设P(x0,y0)，由?x??(kx?m)?1 22??y?1?2?x2?2(kx?m)2?2?(2k2?1)x2?4kmx?2m2?2?0，

又FD?1，?x?c?1,?x?c?1，于是

由于??16k2m2?4(2k2?1)(2m2?2)?0?2k2?m2?1?0?m2?2k2?1（*），

?4km?2km由（*）?2km2k而由韦达定理：2x0?2?x0?2， ???22k?12k?1mm2k212k1?y0?kx0?m???m?，?P(?,)，

mmmmuuuruuuur设以线段PQ为直径的圆上任意一点M(x,y)，由MP?MQ?0有

2k12k12k(x?)(x?2)?(y?)(y?(2k?m))?0?x2?y2?(?2)x?(2k?m?)y?(1?)?0mmmmm由对称性知定点在x轴上，令y?0，取x?1时满足上式，故过定点K(1,0)。

法2：本题又解：取极值，PQ与AD平行，易得与X轴相交于F（1,0）。接下来用相似证明PF⊥FQ。

问题得证。

x2y2练习：（10广州二模文）已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的右焦点F2与抛物线

abC2:y2?4x的焦点重合，椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P，|PF2|?5.圆C33的圆心T是抛物线C2上的动点,圆C3与y轴交于M,N两点，且|MN|?4. （1）求椭圆C1的方程；

（2）证明:无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上一定点.

（1）解法1：∵抛物线C2:y2?4x的焦点坐标为(1,0)，∴点F2的坐标为(1,0). ∴椭圆C1的左焦点F1的坐标为F1(?1,0)，抛物线C2的准线方程为x??1.设点P的坐标为(x1,y1)，由抛物线的定义可知PF2?x1?1,∵PF2?,∴x1?1?，解得x1?.由y12?4x1?28?22?6?. 在椭圆，且y1?0,得y1?6.∴点P的坐标为?,33?33?535323x2y2C1:2?2?1(a?b?0)中，

ab2222c?1.2a?|PF1|?|PF2|?(?1)2?(6?0)2?(?1)2?(6?0)2?4

3333x2y222?1. ∴a?2,b?a?c?3.∴椭圆C1的方程为?43解法2：∵抛物线C2:y2?4x的焦点坐标为(1,0)，∴点F2的坐标为(1,0).∴ 抛物线C2的准线方程为x??1.设点P的坐标为(x1,y1)，由抛物线的定义可知PF2?x1?1,

∵PF2?,∴x1?1?，解得x1?.由y12?4x1?，且y1?0得y1?x2y222∴点P的坐标为(,6).在椭圆C1:2?2?1(a?b?0)中，c?1.

ab33??c?1,?2x2y222?1. 由?a?b?c,解得a?2,b?3.∴椭圆C1的方程为?43?424?2?2?1.9b?9a（2）证法1: 设点T的坐标为(x0,y0),圆C3的半径为r，

5353238326. 322?4.∴r?4?x0∵ 圆C3与y轴交于M,N两点，且|MN|?4,∴ |MN|?2r2?x0. 2∴圆C3的方程为(x?x0)2?(y?y0)2?4?x0.???

2?4x0(x0?0).∴x0?∵ 点T是抛物线C2:y2?4x上的动点,∴ y012y0. 412x2y0代入??? 消去x0整理得:(1?)y0?2yy0?(x2?y2?4)?0.????

24?x?1?2?0,??x?2,方程????对任意实数y0恒成立，∴??2y?0, 解得?

?y?0.?x2?y2?4?0.

??

把x0?x2y2?1上,∴无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上∵点(2,0)在椭圆C1:?43一定点?2,0?.

证法2: 设点T的坐标为(x0,y0),圆C3的半径为r，

2?4x0(x0?0). ∵ 点T是抛物线C2:y2?4x上的动点,∴ y02∵ 圆C3与y轴交于M,N两点，且|MN|?4,∴ |MN|?2r2?x0?4.∴ 2. r?4?x02∴ 圆C3的方程为(x?x0)2?(y?y0)2?4?x0.?????

2?4x0?0,得y0?0.此时圆C3的方程为x2?y2?4. 令x0?0,则y0?x2?y2?4,?x??2,?由?x2y2解得?∴圆C3:x2?y2?4与椭圆C1的两个交点为?2,0?、

?1,?y?0.??3?4??2,0?.

分别把点?2,0?、??2,0?代入方程?????进行检验，可知点?2,0?恒符合方程

?????，点??2,0?不恒符合方程?????.∴无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上一定点?2,0?.