2017届高三第一轮复习专题训练之 圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型
定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：
模型一：“手电筒”模型
x2y2例题、（07山东）已知椭圆C：??1若直线l：y?kx?m与椭圆C相交于
43A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：
直线l过定点，并求出该定点的坐标。
解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，由??y?kx?m222(3?4k)x?8mkx?4(m?3)?0， 得22?3x?4y?12??64m2k2?16(3?4k2)(m2?3)?0，3?4k2?m2?0
Q以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),且kAD?kBD??1，
?y1y?2??1，y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?0， x1?2x2?23(m2?4k2)4(m2?3)16mk???4?0， 2223?4k3?4k3?4k整理得：7m2?16mk?4k2?0，解得：m1??2k,m2??22k2时，l:y?k(x?)，直线过定点(,0)
7772综上可知，直线l过定点，定点坐标为(,0).
72k，且满足3?4k2?m2?0 7当m??2k时，l:y?k(x?2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当m??◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点
x0(a2?b2)y0(a2?b2)(2,)。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组222a?ba?b性质”）
◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP与BP条件（如kAP?kBP?定值，kAP?kBP?定值），直线AB依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。（参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第13节）
此模型解题步骤：
Step1：设AB直线y?kx?m，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范
围；
Step2：由AP与BP关系（如kAP?kBP??1），得一次函数k?f(m)或者m?f(k)； Step3：将k?f(m)或者m?f(k)代入y?kx?m，得y?k(x?x定)?y定。 ◆迁移训练
练习1：过抛物线M:y2?2px上一点P（1,2）作倾斜角互补的直线PA与PB，交M于A、B两点，求证：直线AB过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）
练习2：过抛物线M:y2?4x的顶点任意作两条互相垂直的弦OA、OB，求证：直线AB过定点。（经典例题，多种解法）
练习3：过2x2?y2?1上的点作动弦AB、AC且kAB?kAC?3，证明BC恒过定点。（本题参考答案：(,?)）
练习:4：设A、B是轨迹C：y2?2px(P?0)上异于原点O的两个不同点，直线
?OA和OB的倾斜角分别为?和?，当?,?变化且????时，证明直线AB恒过定
41515点，并求出该定点的坐标。（参考答案??2p,2p?）
【答案】设A?x1,y1?,B?x2,y2?，由题意得x1,x2?0，又直线OA,OB的倾斜角?,???满足????，故0??,??，所以直线AB的斜率存在，否则，OA,OB直线的倾
442y12y2斜角之和为?从而设AB方程为y?kx?b，显然x1?,x2?，
2p2p将y?kx?b与y2?2px(P?0)联立消去x，得ky2?2py?2pb?0
2p2pb由韦达定理知y1?y2?① ,y1?y2?kktan??tan?2p(y1?y2)??由????，得1＝tan?tan(???)==
1?tan?tan?y1y2?4p2442p?1，所以b?2p?2pk， 将①式代入上式整理化简可得：
b?2pk此时，直线AB的方程可表示为y?kx?2p?2pk即k(x?2p)??y?2p??0
所以直线AB恒过定点??2p,2p?.
练习5：（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ)已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是?PBQ的角平分线, 证明直线l过定点. 【答案】解:(Ⅰ) A(4,0),设圆心C (Ⅱ) 点B(-1,0),
22设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题知y1?y2?0，y1y2?0,y1?8x1,y2?8x2.
?y1?y2y?y??21?22?8(y1?y2)?y1y2(y2?y1)?0?8?y1y2?0x1?1x2?1y1?8y2?8直线PQ方程为:y?y1?y2?y112(x?x1)?y?y1?(8x?y1) x2?x1y2?y1所以,直线PQ过定点(1,0)
uuuruuuruuuruuur练习6：已知点B??1,0?,C?1,0?,P是平面上一动点，且满足|PC|?|BC|?PB?CB （1）求点P的轨迹C对应的方程；
（2）已知点A(m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD?AE，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论.
【解】（1）设P(x,y)代入|PC|?|BC|?PB?CB得(x?1)2?y2?1?x,化简得y2?4x. （5分）?直线DE过定点(5,?2).（定点（1，2）不满足题意） 练习7：已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.C:y2?4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.
uuuuruuur（I）证明: OM?OP为定值;
（II）若△POM的面积为，求向量OM与OP的夹角；
（Ⅲ）证明直线PQ恒过一个定点.
2y12y2解：（I）设点M(,y1),P(,y2),?P、M、A三
4452
点共线，
(II)设∠POM=α，则|OM|?|OP|?cos??5.
?S?ROM?5,?|OM|?|OP|?sin??5.由此可得tan2第22题
α=1.
又??(0,?),???45?,故向量OM与OP的夹角为45?.
2y3(Ⅲ)设点Q(,y3),?M、B、Q三点共线，?kBQ?kQM,
4即4(y2?y3)?y2y3?4?0.(*)
2,即y(y2?y3)?y2y3?4x. 即(y?y2)(y2?y3)?4x?y2由（*）式，?y2y3?4(y2?y3)?4,代入上式，得(y?4)(y2?y3)?4(x?1). 由此可知直线PQ过定点E（1，－4）.
模型二：切点弦恒过定点
例题：有如下结论：“圆x2?y2?r2上一点P(x0,y0)处的切线方程为
x2y2x0y?y0y?r”，类比也有结论：“椭圆2?2?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)处的切
abx0xy0yx2线方程为2?2?1”，过椭圆C：?y2?1的右准线l上任意一点M引椭圆C
4ab2的两条切线，切点为 A、B.
（1）求证：直线AB恒过一定点；
（2）当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积。
xx43,t)(t?R),A(x1,y1),B(x2,y2),则MA的方程为1?y1y?1 3433x1?ty1?1 ① 同理可得x2?ty2?1② ∵点M在MA上∴
333x?ty?1,即x?3(1?ty) 由①②知AB的方程为3易知右焦点F（3,0）满足③式，故AB恒过椭圆C的右焦点F（3,0）
【解】（1）设M(x2（2）把AB的方程x?3(1?y)代入?y2?1,化简得7y?6y?1?0
443||36?2816233? 又M到AB的距离d?∴|AB|?1?3? ?7731?3∴△ABM的面积S??|AB|?d?12163 21◆方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用本题的书写步骤替换之，大家注意过程。
◆方法总结：什么是切点弦？解题步骤有哪些？ 参考：PPT圆锥曲线的切线及切点弦方程，百度文库 参考：“尼尔森数学第一季_3下”，优酷视频 拓展：相交弦的蝴蝶特征——蝴蝶定理，资料 练习1：（2013年广东省数学（理）卷）已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F?0,c??c?0?到直线l:x?y?2?0的距离为
32.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条2切线PA,PB,其中A,B为切点.
(Ⅰ) 求抛物线C的方程;
(Ⅱ) 当点P?x0,y0?为直线l上的定点时,求直线AB的方程;
(Ⅲ) 当点P在直线l上移动时,求AF?BF的最小值.
【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C的方程为x?4cy,由20?c?22?32结合c?0,2解得c?1.所以抛物线C的方程为x2?4y.
1142x12x22设A?x1,y1?,B?x2,y2?(其中y1?,y2?),
4411则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,
22x1x12x1所以切线PA：y?y1??x?x1?,即y?x??y1,即x1x?2y?2y1?0
222同理可得切线PB的方程为x2x?2y?2y2?0
(Ⅱ) 抛物线C的方程为x2?4y,即y?x2,求导得y??x
因为切线PA,PB均过点P?x0,y0?,所以x1x0?2y0?2y1?0,x2x0?2y0?2y2?0