拓扑空间是所有数学空间中最基础的空间（是所有数学空间的交集）它只具有开集．

（3）模仿实数空间，在拓扑空间中引进实数空间的性质． 定义了邻域、闭集、闭包、凝聚点、导集．

定义了连续映射，并利用闭集、闭包给出了连续映射的等价命题． （4）模仿高等代数，给出了基的概念． （5）定义了序列及极限点．

思路：模仿实数空间，在拓扑空间中引进实数空间的性质．同时也剖析了实数空间，使我们对实数空间的认识更深刻．

因此，我们在研究各种性质时，应不断探讨：R中是否具有这种性质？与R中的相应性质有何区别？

3．从拓扑空间构造新的拓扑空间

（1）子空间的定义，子空间中开集、闭集、闭包、导集、邻域的结构；

（2）积空间及其基的概念； （3）商空间的定义． 4．关于连通性

（1）不连通与连通的概念．这概念只是关于子集本身的性质，与母空间、子空间无关；

（2）如何判断连通与不连通； （3）R中连通子集的性质；

（4）局部连通、道路连通的定义及三种连通之间的蕴涵关系； （5）将一般空间中的点按连通、道路连通分类，即连通分支、道路连通分支．

（6）

二、常见证明方法

中子集的的连通性．

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（1）证明集合包含 相等

；

（2）证明连续映射：反射开集、闭集、邻域；

（3）证明开集：定理2.3.1．在连续映射下，是否是开集的原象； （4）证明基：定义及定理2.6.2； （5）证明凝聚点; 证明不是凝聚点: 证明闭包:

；

（6）证明序列收敛于x,用定义;证明序列收敛,用反证法； （7）证明连通,常用反证法,导出某个隔离子集是空集； （8）常在一个集合关系式的两边同取f、 （9）常用反证法．

期中模拟试卷 一、判断题

1. 集合X的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑.( )

对

错

、闭包等；

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2. 拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( )

对

错

3. 实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( )

对

错 4.

是X的两个拓扑，则是一个拓扑.( )

对

错

5. 平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点．（ ）

对 错

6. 从（X，

）到（X，）的恒同映射必是连续的．（ ）

对

错

7. 拓扑空间中的连通分支是既开又闭的子集．（ ）

对

错

8.（X，T）为平庸空间，YX，则子空间Y的拓扑为{Y，}．（

对

错

二、填空题 1.

,其中

,

则包含3的所有开集为_______ 包含3的所有闭集为_______

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）

包含3的所有邻域为_______ 设A={1,2,3,4,5} 则A的导集为_______ A的闭包为_______

2.设X为度量空间,x∈X,则d（{x}）=_______．

三、证明题(参考答案) 1.设X有拓扑 证:

也是拓扑.

所以

也是拓扑.

2.度量空间中收敛序列的极限是唯一的. 证:设

→x,

→y,则B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)=

>0,当i>>0,当i>

时有时有

.

对于B(x,ρ(x,y)/3),存在 对于B(y,ρ(x,y)/3),存在取N=max{

,

},则当i>N时有

B(x,ρ(x,y)/3) B(y,ρ(x,y)/3)

B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3) .矛盾

|x∈B}是点x处的

与B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)=3.设X是一个拓扑空间,一个邻域基.

是一个基,x∈X,则Bx={B∈

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