现在设U是Y的一个开集．由于 都连续，所以分别
也都是X的
是A和B的开集．然而A和B都是X的开集，所以开集．因此续映射．
当A和B都是X的闭集时，证明是完全类似的．
是X的一个开集．这便证明了f是一个连
我们现在按建立连通分支概念完全类似的方式建立道路连通分支的概念．
定义4.5.3 设X是一个拓扑空间，x，y∈X．如果X中有一条从x到y的道路，我们则称点x和y是道路连通的．(注意:是“点”道路连通)
根据定义可见，如果x，y，z都是拓扑空间X中的点，则
（1）x和x道路连通；（因为取常值的映射f: [0，1]→X（它必然是连续的）便是一条从x到x的道路．）
（2）如果x和y连通，则y和x也连通；(设f:[0，1]→X是X中从x到y的一条道路．定义映射j：[0，l]→X，使得对于任何t∈[0，l]有j（t）＝f（1－t）．容易验证j是一条从y到x的道路．)
（3）如果x和y连通，并且y和z连通，则x和z连通．（设
：[0，
1]→X分别是X中从x到y和从y到z的道路．定义映射f:[0，1]→X使得对于任何t∈[0，l]，
（0）=x和
应用粘结引理立即可见f是连续的，此外我们有f（0）＝f(1)=
(1)=z．因此f是从x到z的一条道路．）
以上结论归结为：拓扑空间中点的道路连通关系是一个等价关系．
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定义4.5.4 设X是一个拓扑空间．对于X中的点的道路连通关系而言的每一个等价类称为拓扑空间X的一个道路连通分支．
如果Y是拓扑空间X的一个子集．Y作为X的子空间的每一个道路连通分支称为X的子集Y的一个道路连通分支．
拓扑空间X
的每一个道路连通分支都不是空集；X的不同的道路连通
分支无交；以及X的所有道路连通分支之并便是X本身．此外，x，y∈X属于X的同一个道路连通分支当且仅当x和y道路连通．
拓扑空间X的子集A中的两个点x和y属于A的同一个道路连通分支的充分必要条件是A中有一条从x到y的道路．
根据定义易见，拓扑空间中每一个道路连通分支都是一个道路连通子集；根据定理4.5.1，它也是一个连通子集；又根据定理4．3．l，它必然包含在某一个连通分支之中．
作为定理4.5.l在某种特定情形下的一个逆命题，我们有下述定理： 定理4.5.5 n维欧氏空间
的任何一个连通开集都是道路连通的．
中的任何一个球形邻域都是道路连通本身．
证明 首先我们注意n维欧氏空间的，这是因为它同胚于n维欧氏空间
其次证明n维欧氏空间一个开集：设U是
的任何一个开集的任何一个道路连通分支都是
的一个开集，C是U的一个道路连通分支．设x∈C．因为
U是一个包含x的开集，所以也包含着以x为中心的某一个球形邻域B（x，ε）．由于球形邻域B(x,ε)是道路连通的，并且B（x，ε）∩C包含着x，故非空,这导致B（x，ε）
最后,设V是设V
C．所以C是一个开集． 的一个连通开集．如果V
，则没有什么要证明的．下
．V是它的所有道路连通分支的无交并，根据前一段中的结论，每一
个道路连通分支都是开集．因此如果V有多于一个道路连通分支，易见这时V
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可以表示为两个无交的非空开集之并，因此V是不连通的，这与假设矛盾．因此V只可能有一个道路连通分支，也就是说V是道路连通的．
推论4.5.6 n维欧氏空间它的一个连通分支．
证明 由于n维欧氏空间
是一个局部连通空间，根据定理4．4．1，它
的任何开集的任何
中任何开集的每一个道路连通分支同时也是
的任何开集的任何连通分支都是开集.根据定理4.5.5，
连通分支都是道路连通的，因此包含于这个开集的某一个道路连通分支之中．另一方面．任何一个集合的道路连通分支，由于它是连通的，因此包含于这个集合的某一个连通分支之中，本推论的结论成立．
通过引进局部道路连通的概念，定理4.5.5和推论4.5.6的结论可以得到推广．（参见习题5．）
作业:
P132 1. 2.
本章总结：
（1）有关连通、局部连通、道路连通均为某个集合的概念，与这个集合的母空间是否连通、局部连通、道路连通无关．
（2）掌握连通、局部连通、道路连通这三者之间的关系． （3）记住
中的哪些子集是连通、局部连通、道路连通的．
（4）连通、局部连通、道路连通分支是一个分类原则，即每个集合都是若干个某某分支的并，任两个不同的分支无交，每个分支非空．若两个分支有交，则必是同一个分支．
（5）连通是本章的重点．
（6）掌握证明连通、不连通及道路连通的方法．特别注意反证法．
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（7）掌握连通性、局部连通性、道路连通是否是连续映射所保持的、有限可积的、可遗传的．
期中习题
主要复习两个内容：拓扑学研究的思路与成果；常见证明方法． 一、研究的思路与成果 1．预备知识
（1）集合的三种运算的定义与证明方法： 并、交、差：A∪B、A∩B、A-B
（2）在映射f之下，集合的并、交、差的象有什么特点？ f（A∪B）=f（A）∪f（B） f（A∩B） f（A-B）
f（A）∩f（B） 当f为单射时，取等号 f（A）-f（B） 当f为单射时，取等号
（3）集合的并、交、差运算关于f的原象有什么特点？ 一句话：保持运算．即
（4）
．
f满时取等号， f单时取等号．
（5）等价关系、等价类的定义，作用
等价类是一种分类方法，将等价类看成一个元素，所有这样元素的集合就是原集合的商集．
（6）有限集与无限集、可数集与不可数集大不相同． 2．拓扑空间
（1）度量空间、球形邻域、开集、连续映射的定义； （2）拓扑空间的定义．
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