§4.3 连通分支
本节重点:
掌握连通分支的定义(即连通”类”的分法)； 掌握连通分支的性质(定理4.3.1)．
从前面两节中的内容可以看出，知道一个拓扑空间是否连通给我们处理一些问题带来很大的方便．这导致我们去考察一个我们并不知道是否连通的拓扑空间中的“最大”连通子集（即连通分支）．
定义4.3.1 设X是一个拓扑空间，x，y∈X．如果X中有一个连通子集同时包含x和y，我们则称点x和y是连通的．(注意:是点连通)
根据定义可见，如果x，y，z都是拓扑空间X中的点，则 （1）x和x连通（因为每一个单点集都是连通子集）； （2）如果x和y连通，则y和x也连通；（显然）
（3）如果x和y连通，并且y和z连通，则x和z连通．（这是因为，这时存在X中的连通子集A和B使得x，y∈A和y，z∈B．从而由于y∈A∩B可见A∪B连通，并且x，z∈A∪B．因此x和z连通．）
以上结论归结为：拓扑空间中点的连通关系是一个等价关系．
定义4.3.2 设X是一个拓扑空间．对于X中的点的连通关系而言的每一个等价类称为拓扑空间X的一个连通分支．
如果Y是拓扑空间X的一个子集．Y作为X的子空间的每一个连通分支称为X的子集Y的一个连通分支．
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拓扑空间X≠的每一个连通分支都不是空集；X的不同的连通分支无交；
以及X的所有连通分支之并便是X本身．此外，x，y∈X属于X的同一个连通分支当且仅当x和y连通．
拓扑空间X的子集A中的两个点x和y属于A的同一个连通分支当且仅当A有一个连通子集同时包含点x和y．
定理4.3.1 设X是一个拓扑空间，C是拓扑空间X的一个连通分支．则 （1）如果Y是X的一个连通子集，并且Y∩C≠ （2）C是一个连通子集； （3）C是一个闭集．
本定理中的条件（1）和（2）说明，拓扑空间的每一个连通分支都是X的一个最大的连通子集．
证明 （1）任意选取x∈Y∩C．对于任何y∈Y由于x和y连通，故y∈C．这证明Y
C．
使得；
（2）对于任何x，y∈C，根据定义可见，存在X的一个连通子集x，y∈
．显然
∩C≠
，故根据（1），
C．应用定理4．1．7可知，
C是连通的．
（3）因为C连通，根据定理4．1．5，连通．显然，以根据（1），
．从而C是一个闭集．
．所
但是，一般说来连通分支可以不是开集．例如考虑有理数集Q（作为实数空间R的子空间）．设x，y∈Q，x≠y．不失一般性，设x＜y．如果Q的一个子集E同时包含x和y，令A=(-∞，r)∩E和B=(r，∞)∩E，其中r是任何一个无理数，x＜r＜y．此时易见A和B都是Q的非空开集，并且E＝A∪B．因此E不连通．以上论述说明E中任何一个包含着多于两个点的集合都是不连通的，
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也就是说，Q的连通分支都是单点集．然而易见Q中的每一个单点集都不是开集．
记住这个事实:任一个集合A都可以由含于它内部的所有连通分支的并而成(且这些连通分支互不相交)．即使是离散空间,它的每一个点自成连通分支,这个结论也成立．
作业:
P123 1．3．4．8．
§4.4 局部连通空间
本节重点:
掌握局部连通的定义与性质(定理4.4.1-4.4.3)； 掌握连通与局部连通的关系.
引进新的概念之前，我们先来考察一个例子．
例4.4.1 在欧氏平面
中令S={(x,sin(1/x))|x∈(0,1]}．
T={0}×[-1,1],其中S被称作拓扑学家的正弦曲线，它是区间（0，1]在一个连续映射下的象，因此是连通的．此外，也容易验证 ＝S∪T，因此
＝S∪T也是连通的．尽管如此，倘若我们查看
中的点，
容易发现它们明显地分为两类：S中的每一个点的任何一个“较小的”邻域中都包含着一个连通的邻域，而T中的每一个点的任何一个邻域都是不连通的.我们用以下的术语将这两个类型的点区别开来．
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定义4.4.1 设X是一个拓扑空间，x∈X．如果x的每一个邻域U中都包含着x的某一个连通的邻域V，则称拓扑空间X在点x处是局部连通的．
如果拓扑空间X在它的每一个点处都是局部连通的，则称X是一个局部连通空间．
回到例4.4.1中所定义的拓扑空间
．容易证明，在其属于S的每一个
点处是局部连通的，而在其属于T的每一个点处都不是局部连通的．也因此，尽管
是一个连通空间，但它却不是一个局部连通的空间．
局部连通的拓扑空间也不必是连通的．例如，每一个离散空间都是局部连通空间，但包含着多于两个点的离散空间却不是连通空间．又例如，n维欧氏空间
的任何一个开子空间都是局部连通的（这是因为每一个球形邻域都同胚
，因而是连通的），特别，欧氏空间
本身是局部连通的．另
于整个欧氏空间一方面，欧氏空间
中由两个无交的非空开集的并作为子空间就一定不是连通
的（请读者自己证明）．
此外根据定义立即可见：拓扑空间X在点x∈X处是局部连通的当且仅当x的所有连通邻域构成点x处的一个邻域基，
定理4.4.1 设X是一个拓扑空间．则以下条件等价： （1）X是一个局部连通空间；
（2）X的任何一个开集的任何一个连通分支都是开集； （3）X有一个基，它的每一个元素都是连通的． 证明（1）蕴涵（2）．设C是X的一个连通分支,
．如果x∈C，
由于U是x的一个邻域，所以当（1）成立时x有一个连通邻域V包含于U．又由于V∩C包含着点x,所以不是空集，根据定理4．3．1可见C∈
．因此
．这证明C是属于它的任何一个点x的邻域，因此C是一个开集．
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