《点集拓扑讲义》第四章 连通性 学习笔记 下载本文

掌握常见的几种空间的同胚与否的事实.

让我们回忆实数集合R中区间的精确定义:R的子集E称为一个区间,如果它至少包含两个点,并且如果a,b∈E,a<b,则有

[a,b]={x∈R|a≤x≤b}

E

读者熟知,实数集合R中的区间共有以下9类:

(-∞,∞),(a,∞),[a,∞),(-∞,a),(-∞,a] (a,b),(a,b],[a,b),[a,b]

因为,一方面以上9类集合中的每一个显然都是区间;另一方面,如果ER是一个区间,可视E有无上(下)界,以及在有上(下)界的情形下视其上(下)确界是否属于E,而将E归入以上9类之一

在定理4.1.2中我们证明了实数空间R是一个连通空间.因为区间(a,∞),(-∞,a)和(a,b)都同胚于R(请读者自己写出必要的同胚映射),所以这些区间也都是连通的;由于

根据定理4.1.5可见区间[a,∞),(-∞,a],[a,b),(a,b]和[a,b]都是连通的.

另一方面,假设E是R的一个子集,并且它包含着不少于两个点.如果E不是一个区间,则

;从而,若令

A=(-∞,c)∩E,B=(c,∞)∩E

则可见A和B都是E的非空开集,并且有A∪B=E和A∩B=通.

综合以上两个方面,我们已经证明了:

,因此E不连

,也就是说,存在a

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定理4.2.1 设E是实数空间R的一个子集.E是包含着不少于两个点的一个连通子集当且仅当E是一个区间.

定理4.2.2 设X是一个连通空间,f:X→R是一个连续映射.则f(X)是R中的一个区间.

因此,如果x,y∈X,则对于f(x)与f(y)之间的任何一个实数t(即当f(x)≤f(y)时,f(x)≤t≤f(y);当f(y)≤f(x)时,f(y)≤t≤f(x)),存在z∈X使得f(z)=t.

证明 这个定理的第一段是定理4.1.8和定理4.2.1的明显推论.以下证明第二段.设x,y∈X.如果f(x)=f(y),则没有什么要证明的.现在设f(x)≠f(y),并且不失一般性,设

f(x)<f(y).由于f(X)是一个区间,所以[f(x),f(y)]f(X).因此对于任何t,f(x)≤t≤f(y),有t∈f(X),所以存在 z∈X,使得f(z)=t.

根据定理4.2.2,立即可以推出数学分析中的介值定理和不动点定理. 定理4.2.3[介值定理] 设f:[a,b]→R是从闭区间[a,b]到实数空间R的一个连续映射.则对于f(a)与f(b)之间的任何一个实数r,存在z∈[a,b]使得f(z)=r.

定理4.2.4[不动点定理] 设f:[0,1]→[0,1]是一个连续映射.则存在z∈[0,1]使得f(z)=z

证明 如同数学分析中的证法那样,只需构造F(x)=x-f(x), 再利用介值定理即可证得.

容易证明欧氏平面这是因为如果定义映射 f:R→

使得对于任意t∈R有f(t)=(cos2πt,sin2πt)∈

,则易于验证f

中的单位圆周

是连通的.

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是一个连续映射,并且f(R)=象,所以它是连通的.

设点得任何x∈是欧氏平面

.因此 是连通空间R在一个连续映射下的

称为点x的对径点.映射r:使

,有r(x)=-x,称为对径映射.对径映射是一个连续映射,因为它到自身的反射l:

,有 在单位圆周上的限制.其中,映射l定义为对于任何

l(x)=-x,容易验证(请读者自行验证)是一个连续映射.

定理4.2.5[Borsuk-Ulam定理] 设f:

→R是一个连续映射.则在

存在一对对径点x和-x,使得f(x)=f(-x).

证明(略)

我们已经知道n维欧氏空间定理4.2.6 n>1维欧氏空间(0,0,?,0)∈

中的子集(-∞,

是连通空间,下面进一步指出: 的子集

-{0}是一个连通子集,其中0=

证明 我们只证明n=2的情形.根据定理4.1.9,0)×R和(0,∞)×R都是连通的.由于

所以根据定理4.1.5,Rn中的子集A=[0,∞)×R-{0}是连通的;同理,子集B=(-∞,0]×R-{0}是连通的.由于A∩B≠A∪B=

-{0},因此根据定理4.1.6可见,

以及

-{0}是连通的.

一般情形的证明类似,请读者自行补证.

定理4.2.6可以得到进一步的改善(参见习题第4题)

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定理4.2.7 欧氏平面证明 假设射

我们有

.但根据定理4.2.6,

-{0}是连通的,

和实数空间R不同胚.

→R是一个同胚.因此对于连续映

与R同胚,并且设f:

而根据定理4.2.1,R-{f(0)}是不连通的.这与定理4.1.8矛盾.

定理4.2.7给出了利用拓扑不变性质判定两个空间不同胚的第一个实例.

定理4.2.4,定理4.2.5和定理4.2.7尽管简单但确有意思,特别是这几个定理都有高维“版本”,我们分别陈述如下:

定理4.2.8[Brouwer不动点定理] 设f:中

定理4.2.9[Borsuk-Ulam定理] 设f:n≥m,则存在x∈

定理4.2.10 如果n≠m,则欧氏空间

不同胚.这些定理的证明

使得f(x)=f(-x).

是一个连续映射,其中

是n维球体.则存在z∈

使得f(z)=z.

是一个连续映射,其

(除去我们已经证明过的情形)一般都需要代数拓扑知识,例如同调论或同伦论,请参阅有关的专门书籍.

作业: P121 4.

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