掌握常见的几种空间的同胚与否的事实.
让我们回忆实数集合R中区间的精确定义：R的子集E称为一个区间，如果它至少包含两个点，并且如果a，b∈E，a＜b，则有
[a，b]={x∈R|a≤x≤b}
E
读者熟知，实数集合R中的区间共有以下9类：
（-∞，∞），（a，∞），［a，∞），（-∞，a），(-∞，a］ （a，b），（a，b］，［a，b），［a，b］
因为，一方面以上9类集合中的每一个显然都是区间；另一方面，如果ER是一个区间，可视E有无上（下）界，以及在有上（下）界的情形下视其上（下）确界是否属于E，而将E归入以上9类之一
在定理4．1．2中我们证明了实数空间R是一个连通空间．因为区间（a，∞），（－∞，a）和（a，b）都同胚于R（请读者自己写出必要的同胚映射），所以这些区间也都是连通的；由于
根据定理4．1．5可见区间[a，∞），（－∞，a]，[a，b），（a，b]和[a，b］都是连通的．
另一方面，假设E是R的一个子集，并且它包含着不少于两个点．如果E不是一个区间，则
；从而，若令
A=（－∞，c）∩E，B=(c，∞)∩E
则可见A和B都是E的非空开集，并且有A∪B=E和A∩B=通.
综合以上两个方面，我们已经证明了：
，因此E不连
,也就是说,存在a 第 9 页 * 共 29 页 定理4.2.1 设E是实数空间R的一个子集．E是包含着不少于两个点的一个连通子集当且仅当E是一个区间． 定理4.2.2 设X是一个连通空间，f:X→R是一个连续映射．则f(X)是R中的一个区间． 因此，如果x，y∈X，则对于f(x)与f(y)之间的任何一个实数t（即当f(x)≤f(y)时，f(x)≤t≤f(y)；当f(y)≤f(x)时，f(y)≤t≤f(x))，存在z∈X使得f(z)=t． 证明 这个定理的第一段是定理4．1．8和定理4.2.1的明显推论．以下证明第二段．设x，y∈X．如果f（x）＝f（y），则没有什么要证明的．现在设f（x）≠f（y），并且不失一般性，设 f（x）＜f（y）．由于f（X）是一个区间，所以［f（x），f（y）］f（X）．因此对于任何t，f(x)≤t≤f(y)，有t∈f(X)，所以存在 z∈X,使得f（z）=t. 根据定理4.2.2，立即可以推出数学分析中的介值定理和不动点定理． 定理4.2.3［介值定理］ 设f:[a，b]→R是从闭区间[a，b]到实数空间R的一个连续映射．则对于f（a）与f（b）之间的任何一个实数r，存在z∈［a，b］使得f(z)=r． 定理4.2.4[不动点定理] 设f:[0，1]→［0，1］是一个连续映射．则存在z∈[0，1]使得f(z)=z 证明 如同数学分析中的证法那样,只需构造F(x)=x-f(x), 再利用介值定理即可证得. 容易证明欧氏平面这是因为如果定义映射 f:R→ 使得对于任意t∈R有f(t)=(cos2πt,sin2πt)∈ ，则易于验证f 中的单位圆周 是连通的. 第 10 页 * 共 29 页 是一个连续映射，并且f(R)＝象，所以它是连通的． 设点得任何x∈是欧氏平面 ．因此 是连通空间R在一个连续映射下的 称为点x的对径点．映射r：使 ,有r(x)=-x，称为对径映射．对径映射是一个连续映射，因为它到自身的反射l： ,有 在单位圆周上的限制．其中，映射l定义为对于任何 l（x）＝-x，容易验证（请读者自行验证)是一个连续映射． 定理4.2.5[Borsuk-Ulam定理] 设f: →R是一个连续映射．则在 中 存在一对对径点x和-x，使得f(x)=f(-x)． 证明(略) 我们已经知道n维欧氏空间定理4.2.6 n＞1维欧氏空间（0，0，?，0）∈ ． 中的子集(-∞， 是连通空间，下面进一步指出： 的子集 -{0}是一个连通子集，其中0= 证明 我们只证明n＝2的情形．根据定理4．1．9，0)×R和（0，∞）×R都是连通的．由于 所以根据定理4．1．5，Rn中的子集A=［0，∞）×R-{0}是连通的；同理，子集B=(-∞，0］×R-{0}是连通的．由于A∩B≠A∪B= -{0}，因此根据定理4.1．6可见， 以及 -{0}是连通的． 一般情形的证明类似，请读者自行补证. 定理4.2.6可以得到进一步的改善（参见习题第4题） 第 11 页 * 共 29 页 定理4.2.7 欧氏平面证明 假设射 我们有 ．但根据定理4.2.6， -{0}是连通的， 和实数空间R不同胚． →R是一个同胚．因此对于连续映 与R同胚，并且设f: 而根据定理4.2.1，R-{f(0)}是不连通的．这与定理4．1．8矛盾． 定理4.2.7给出了利用拓扑不变性质判定两个空间不同胚的第一个实例． 定理4.2.4，定理4.2.5和定理4.2.7尽管简单但确有意思，特别是这几个定理都有高维“版本”，我们分别陈述如下： 定理4.2.8[Brouwer不动点定理] 设f：中 定理4.2.9[Borsuk－Ulam定理] 设f：n≥m，则存在x∈ 定理4.2.10 如果n≠m，则欧氏空间 和 不同胚．这些定理的证明 使得f（x）=f（-x）． 是一个连续映射，其中 是n维球体．则存在z∈ 使得f（z）=z． 是一个连续映射，其 （除去我们已经证明过的情形）一般都需要代数拓扑知识，例如同调论或同伦论，请参阅有关的专门书籍． 作业： P121 4. 第 12 页 * 共 29 页