【必做题】第22题、第23题.每题10分.共计20分.请在答题卡指定区毕内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)

某校开设8门校本课程，其中4门课程为人文科学，4门为自然科学，学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等. (1)求某同学至少选修1门自然科学课程的概率;

(2)已知某同学所选修的3门课程中有1门人文科学，2门自然科学，若该同学通过人文科学课程的概率都是

43，自然科学课程的概率都是，且各门课程通过与否相互独立.用?表示该同学所选的3门课程54通过的门数，求随机变量?的概率分布列和数学期望。

23.(本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物 y?2px(p?0)的准线方程为 x??21,过点M(0,-2)作抛物4线的切线MA，切点为A（异于点O).直线l过点M与抛物线交于两点B,C，与直线OA交于点N. (1)求抛物线的方程; (2)试问:

MNMN的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由。 ?MBMC

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参考答案与评分标准

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答．题卡相应位置上） ．．．．．．．

3145； 4．； 5．7； 6．π； 7．?2；

33618．22； 9．18； 10．； 11．2； 12．25 ； 13．(??,3]； 14．3．

2二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定．．．．．

1．6； 2．?3； 3．

的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15．(1)因为a?b，所以agb=0， …………………………………………………………2分

所以2sin??sin?????53π?sin??cos??0． …………………4分 ?0，即?223?因为cos??0，所以tan???(2)由a∥b，得2sin?sin???即2sin?cos23． …………………………………………6分 5??π???1， ………………………………………………8分 3?13ππsin2??1， ?2sin?cos?sin?1，即?1?cos2???2233整理得，sin?2??又???0,所以2????π?1?? ……………………………………………………11分 6?2??π?π?π5π?2?????,?， ，所以?2?6?66?πππ

?，即??． …………………………………………………14分 666

16．（1）因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBCI平面ABC?BC，AB?平面ABC，

AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC． …………………………………………………2分

因为CP?平面PBC，所以CP⊥AB. ………………………………………………4分 又因为CP⊥PB，且PBIAB?B，AB,PB?平面PAB,

所以CP⊥平面PAB，…………………………………………………………………6分 又因为PA?平面PAB，所以CP⊥PA．……………………………………………7分 （2）在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D．…………………………………8分

因为平面PBC⊥平面ABC，又平面PBC∩平面ABC＝BC，

PD?平面PBC，所以PD⊥平面ABC．…………………………………………10分

又l⊥平面ABC，所以l//PD．……………………………………………………12分 又l?平面PBC，PD?平面PBC，l//平面PBC．…………14分

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A

P C D

B

17．(1) 因为A(?3,4)，所以OA?(?3)2?42?5，…………………………………1分

又因为AC?4，所以OC?1，所以C(?,)，…………………………………3分 由BD?4，得D(5,0)，…………………………………………………………… 4分

345545??1所以直线CD的斜率， ………………………………………………5分

7?3?5?????5?0?所以直线CD的方程为y??(x?5)，即x?7y?5?0．…………………………6分 （2)设C(?3m,4m)(0?m≤1)，则OC?5m．…………………………………………7分

则AC?OA?OC?5?5m，

因为AC?BD，所以OD?OB?BD?5m+4，

所以D点的坐标为 (5m+4,0) ………………………………………………………8分 又设?OCD的外接圆的方程为x?y?Dx+Ey?F?0，

2217?F?0,??22则有?9m?16m?3mD?4mE?F?0,……………………………………………10分

?25m?4??5m?4?D?F?0.????解之得D??(5m?4),F?0,E??10m?3,

所以?OCD的外接圆的方程为x?y?(5m?4)x?(10m?3)y?0，…………12分 整理得x2?y2?4x?3y?5m(x?2y)?0，

22?x2?y2?4x?3y=0,?x?0,?x?2, 令?，所以?（舍）或??y?0.?y??1.?x+2y=0所以△OCD的外接圆恒过定点为(2,?1)．…………………………………………14分

18．(1)如图，以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则C点坐标为

(2,4)．……………………………………………………………………………1分

设边缘线AC所在抛物线的方程为y=ax2， 把(2,4)代入，得4=a?22，解得a=1，

所以抛物线的方程为y=x2．…………………………………………………………3分 因为y￠=2x，……………………………………………………………………………4分

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所以过P(t,t2)的切线EF方程为y=2tx-t2．………………………………………5分 令y=0，得E(,0)；令x=2，得F(2,4t-t2)，…………………………………7分

t21t(2?)(4t?t2)，…………………………………………………………8分 22132所以S?(t?8t?16t)，定义域为(0,2]．………………………………………9分

41234(2)S??(3t?16t?16)?(t?4)(t?)，……………………………………………12分

4434由S?(t)?0，得0?t?，

y 3C D 44所以S?(t)在(0,)上是增函数，在(,2]上是减函数，……14分 F 33464所以S在(0,2]上有最大值S()?．

3276417P 又因为?3??3， 2727所以不存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3km2．…16分 所以S?19．（1）因为an?an?2???2an?1，a1?a2?1，

所以a3?2a2-a1+????1，

同理，a4?2a3-a2+??3??1，a5?2a4-a3+??6??1， ……………………2分 又因为a4?a1?3?，a5?a4?3?，…………………………………………………3分 所以a4?a1?a5?a4，

故a1，a4，a5成等差数列．…………………………………………………………4分 （2） 由an?an?2???2an?1，得an?2?an?1?an?1?an+?，…………………………5分

令bn?an?1?an，则bn?1?bn??，b1?a2?a1?0， 所以?bn?是以0为首项，公差为?的等差数列，

所以bn?b1?(n?1)??(n?1)?，…………………………………………………6分 即an?1?an?(n?1)?，

所以an?2?an?2(an?1?an)???(2n?1)?， 所以cn?2an?2?anO(A) E （第18题）

B x ?2(2n?1)?． ………………………………………………………8分

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