甲种零件：88,87,92,90,91 乙种零件：89,89,90,84,88

设两种零件的抗压强度均服从正态分布，方差相同，问甲种零件的抗压强度是否比乙种零件的抗压强度高？（a=0.05） 解：设甲种零件的抗压强度X～N(，)，乙种零件的抗压强度Y～N(，)由题设 未知。根据题意需要检验 H0：-≤0，H1：-＞0

即，如甲种零件不比乙种零件的抗压强度高（H0成立），显然要生产乙种零件，但若甲种零件比乙种零件抗压强度高（H1成立），为了保证质量，要生产甲种零件。

选用统计量

t=

这是右侧检验，拒绝域为t≥)。经计算=89.6,=88.0,=4.3,=5.5,=5,t==1.14,查t分布表，得=1.8595。 t＜，t的观察值没有落在拒绝域内，故接受H0，即认为甲种零件的抗压强度并不比乙种零件的抗强度高。

16、从自动机床加工的同类零件中，随机地抽取16件，测得长度为(单位mm)：

12.15 12.12 12.01 12.28 12.09 12.16 12.03 12.01 12.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.06

求该类零件长度的方差σ2

及标准差的区间估计(a=0.05)。

解：设该类零件长度为随机变量X，可以认为X～N(μ，σ2

)，σ2

为待估参数。

经计算，有==12.08 (n-1)S2

==0.0761 查分布表得

(n-1)=(15)=27.488 (n-1)=(15)=6.262

则σ2的置信度为95%的置信区间为

=()=(0.0027,0.0121)

则σ的置信度为95%的置信区间为：(0.052,0.110)。

17、某企业下半年劳动生产率资料如表1所示，计算平均月劳动生产率和下半年平均职工劳动生产率。

表1 某企业下半年劳动生产率资料 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 a：总产值/万元 87 91 94 96 102 98 91 b：月末职工人数/人 460 470 480 480 490 480 450 c：劳动生产率/(元·人-1) 1948 1957 1979 2000 2103 2021 1957 解：从表12—1中可以看到，劳动生产率的分子总产值是时期指标，分母职工人数是时点指标，计算平均月劳动生产率应用下列公式： =

代入表中资料，有 = =2003.5元/人

若计算下半年平均职工劳动生产率，则有两种计算形式。一种是用下半年平均月劳动生产率乘月份个数n，即n=2003.5×6=12021元/人，另一种则采用下列公式计算： =

代入表中资料有 = =12021元/人

18、设总体的均值和方差都存在，证明简单随机样本的均值和方差分别是总体的均值和方差的无偏估计量。

证明：设总体X的均值E(X)=μ，方差D(X)= σ2

，X1，X2，X3，?，Xn为来自总体X的样本，因为Xi与X同分布，所以

E(X2

2

2i)=μ，D(Xi)= σ ，E(Xi)=D(Xi)+E(Xi)，故 E()= E[]==nE(X)=E(X)=μ

E(S2

)= E[]=E[]=E[]=[]=[n[D(X)+E2

(X)]-n[D()+E2

()]] 因为E()=E(X)=μ，D()=D(X)/n

所以 E(S2

)=[n(σ2

+μ2

)-n(σ2

/n+μ2

)]=(nσ2

-σ2

)=σ2

19、设离散随机变量X的分布率如表1所示。

表1 X 0 1 2 Pk 1/3 1/6 1/2

求X的分布函数，并求P{X≤1/2}，P{1＜X≤3/2}，P{1≤X≤3/2}。 解：当x<0时，F(x)=P{X≤x}=0 当0≤x＜1时，F(x)=P{X≤x}=1/3

当1≤x＜2时，F(x)=P{X≤x}=1/3+1/6=1/2 当x≥2时，F(x)=P{X≤x}=1/3+1/6+1/2=1 0，x<0 1/3，0≤x＜1

故 F(x)= 1/2，1≤x＜2 1，x≥2

F(x)的图像如图所示。 P{X≤1/2}=1/3

P{1＜X≤3/2}=F(3/2)－F(1)=1/2－1/2＝0

P{1≤X≤3/2}= F(3/2)－F(1)+ P{X=1}=1/2－1/2+1/6=1/6

20、设某企业生产3种产品的有关资料如表2所示。试计算3种产品的价格总指数和产量总指数。

9

表2 某企业生产3种产品的有关数据 产品名称 ? /件 П/件 Ш/kg 报告期生产总值p1q1/万元 360 187.2 54 个体出厂价格指数p1/p0 1.0286 1.0286 0.900 个体产量指数q1/q0 1.1111 1.0400 1.2500 解：3种产品的价格总指数为

产品的产量总指数为Iq= = = = 109.87%

表明，报告期与基期相比，该企业3种产品的单位出厂价格平均提高了，3种产品的产量平均提高了9.87%。

21、建立下列线性规划的对偶规划 原规划：（P）minQ=5u1+6u2s.t

对偶规划：（D）可以改写为：（P，

）maXQ=8X1+9X2

s.t

???4x1?x2?5 ?4u1?2u2?8?u?2x ?1?3u2?9

?u?1?3x2?61,u2?0?x1,x2?0单纯形表如下 cj XB xj 6 4 0 0 0 常数列 CB X1 X2 X3 X4 X5 0 X3 1 1 1 0 0 6 初始0 X4 1 2 0 1 0 8 单纯数 0← X5 0 [1]↓ 0 0 1 3 ~cj 3 4 0 0 0 So=0 0 X3 1 0 1 0 -1 3 0← X4 [1]↓ 0 0 1 -2 2 4 X2 0 1 0 0 1 3 错误！未找到引用3 0 0 0 -4 S源。 1=12 0← X3 0 0 1 -1 [1]↓ 1 3 X1 1 0 0 1 -2 2 4 X2 0 1 0 0 1 3 ~cj 0 0 0 -3 2 S=18 0 X5 0 0 1 -1 1 1 3 X1 1 0 2 -1 0 4 4 X2 0 1 -1 1 0 2 10

~cj 0 0 -2 -1 0 S=20 故：

最优解为： X1=4 X2=2 X3=0 X40 X5=1 最优值为：S=20

11

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