七、计算题

1.新建设一个工厂，有两个方案：一是建大厂，需要投资300万元，二是建小厂，需要投资160万元。两者的使用年限10年，估计在此期间产品销路好的可能性为0.7，销路差的可能性为0.3，两个方案的年利润如图表示。 问建大厂还是小厂？

答：计算各方案收益期望值E1： 建大厂：

E1=100x0.7+（-20）x0.3x10 =640（万元） 640—300=340 建小厂： E2=40x0.7x10 +10x0.3x10 =310（万元） 310—160=150

则，将计算机结果记在状态结点以及各方案枝下面。显然建大厂的收益大，故保留该方案枝，而将建小厂的方案枝剪掉。 2、原题：目标函数 解：

标准形：maXS =6X1+4X2+0X3+0X4+0X5

cj XB xj 2

6 4 0 0 0 ?123?3?233常数列 CX1 X2 X3 X4 X5

0← X3 B [2]↓ 1 1 0 0 1 0

0 X4 3 3 0 1 0 24

0 X5 0 1 0 0 1 7 ~

cj б 4 0 0 0 S0=0

1 0 0 11

б X1 225 ?3?

0 X4 0 ↓ - 1 0 ??2????3??2??9

0 X5 0 1 0 0 1 7

错误！未找到引用

0 1 -3 0 0 S=30 源。

6 X1 1 0 1 0 2

4 X2 0 1 -1 0 6

0 X5 0 0 1 1 1 ~

cj 0 0 -2 0 S=36

最优值为：maXS=6X1+4X2+0X5 =6×2+4×6+0×1 =36

3建立下列线性规划的对偶规划 原规划：（P）minQ=5u1+6u2 s.t

对偶规划：（D）可以改写为：（P，）maXQ=8X1+9X2 ??4u1?2u2?8?s.t ?4x1?x2?5 ?u1?3u?2x1?3x2?6

?2?9?u1,u2?0??x1,x2?0

5

4、目标函数 maXS=3X1+4X2

?

?x1?x2?6?

??x1?2x2?8?x1?x2?x3?6?x ?x2?3?1?2x2?x4?8解：标准化：maXS =3X1+4X2+0X3+0X4+0X5 ??x?x2?x5?3X1，X2，X3，X4，X5≥0

1,x2?0单纯形表如下

cj XB xj 6 4 0 0 0 常数列 CB X1 X2 X3 X4 X5 0 X3 1 1 1 0 0 6 初始0 X4 1 2 0 1 0 8 单纯数 0← X5 0 [1]↓ 0 0 1 3 ~cj 3 4 0 0 0 So=0 0 X3 1 0 1 0 -1 3 0← X4 [1]↓ 0 0 1 -2 2 4 X2 0 1 0 0 1 3 错误！未找到引用3 0 0 0 -4 S1=12 源。 0← X3 0 0 1 -1 [1]↓ 1 3 X1 1 0 0 1 -2 2 4 X2 0 1 0 0 1 3 ~cj 0 0 0 -3 2 S=18 0 X5 0 0 1 -1 1 1 3 X1 1 0 2 -1 0 4 4 X2 0 1 -1 1 0 2 ~cj 0 0 -2 -1 0 S=20 故：

最优解为： X1=4 X2=2 X3=0 X40 X5=1 最优值为：S=20

5.目标函数 解：

6

标准形：maXS =6X1+4X2+0X3+0X4+0X5 cj XB CB 0← X 3xj 6 4 0 0 0 X1 X2 X3 X4 X5 [2]↓ 1 1 0 0 常数列 1 0 0 X4 3 3 0 1 0 24 0 X5 0 1 0 0 1 7 ~ cjб 4 0 0 0 1 0 0 1S0=0 б X1 2125 0 X4 ?3??0 ↓ - 1 0 ?2??0 1 0 0 1 ?3???2??9 0 X5 7 错误！未找到引用源。 0 1 -3 0 0 1 0 1 0 S=30 6 X1 0 1 -1 0 4 X2 0 0 1 1 0 X5 0 0 -2 0 ?13232 6 ?23231 ~ cj最优值为：maXS=6X1+4X2+0X5

?S=36 =6×2+4×6+0×1 =36

6、车间生产金属丝，质量想来较稳定。按经验金属丝的折断力X服从正态分布，方差为，今从一批产品中随机抽取10根作折断力试验，结果为（单位kg）：578,572,570,568,572,570,572,596,584,570，问是否可以相信这批金属丝的折断力的方差也是64。（显著性水平 =0.05） 解：根据题意

（1）提出假设H0：σ==64，H1：σ≠（2）检验统计量=～（3）拒绝域为≥(n-1)或≤(n-1)（4）根据样本观察值计算，并作判断经计算=575.2，(n-1)s==681.6 =681.6/64=10.65对于a=0.05，查分布表得(n-1)=(9)=19.023、 (n-1)=(9)=2.700，由于(9)＜＜(9)故接受H0，即这批金属丝的折断力的方差与64无显著差异。 ==1.96

因为=1.754＜＜=1.96，所以没有理由拒绝H0。即认为两种工序在装配时间之间没有显著差异。

7、为了研究男女在生活费支出(单位：元)上的差异，在某大学各随机抽取25名男学生和25名女学生，得到下面的结果：

男学生：=520，=260； 女学生：=480，=260。

试以此为90%的置信水平估计男女学生生活费支出方差比的置信区间。

解：根据自由度n1=25-1=24, n2=25-1=24,查F分布表，得有

(24,24)=(24,24)=1.98

则(24,24)=(24,24)==0.505 从而/的置信度为90%的置信区间为 ()=()=(0.47,1.84)

8、求二项分布的方差。

解：设X～b(n,p)则X可以写成n个均服从(0-1)分布的独立随机变量的和，即

X=X1+X2+X3+?+Xn

其中Xi服从(0-1)分布，分布律为

X Pk D(Xi)=pq，i=1，2，?n

D(X)=D(X1)+D(X2)+D(X3)+?+D(Xn)=npq

9、某厂生产的乐器用一种镍合金弦线，长期以来其抗拉强度的总体均值为10560(kg/cm)。今生产了一批弦线，随机抽取10根进行抗拉强度试验。测得其抗拉强度分别为：10512,10623,10554,10776,10707，10557，10581,10666,10670。设抗拉强度服从正态分布。问这批弦线的抗拉强度是否较以往生产的弦线抗拉强度要高？(显著性水平a=0.05) 解：这是一个正态总体，抗拉强度X～N(μ，σ)，σ未知，按题意：

2

2

2

2

2

2

0 1 q p 7

(1) 提出假设：H0：μ≤μ0=10560，H1：μ＞10560

这是右侧检验问题。

(2) 检验统计量用 ～t(n-1)

(3) 拒绝域：t≥ta(n-1)

(4) 根据样本观察值计算并作出判断

===10631.4 s===81.00

μ0=10560，查t分布表有ta(n-1)= t0.05(9)=1.8331 于是==2.784.8＞t0.05(9)=1.8331

t的观测值落在了拒绝域内，故拒绝H0，即认为这批弦线的抗拉强度比以往生产的弦线强度要高。

10、某公司为生产某种新产品而设计了两种基本建设方案，一个方案是建大厂，另一个方案是建小厂，建大厂需要投资280万元，建小厂需投资160万元，两者的使用期都是10年，无残值。估计在寿命期内产品销路好的概率是0.7，产品销路差的概率是0.3，两种方案的年度损益值如表15-1所示。试用决策树进行决策。 状态 方案 建大厂 建小厂 解：（1）首先根据资料画出决策树。

（2）计算各状态点的期望收益值。

点2：[100×0.7+(-20)×0.3]×10-280=360万元； 点3：(40×0.7+30×0.3)×10-160=210万元。 将计算结果填入决策树中相应的状态点。

（3）做出抉择。比较两个状态节点上的期望值，显然建大厂方案的期望值高于建小厂方案的期望值，因此应选择方案“建大厂”，将选择结果画在决策树上，剪去被淘汰的方案枝（在方案枝上记号“”），将选择的方案所可能带来的期望利润值填在决策点旁。 11、求正态分布的数学期望。X～N(μ，σ)其密度函数为 f(x)=，σ＞0，-＜+ 解：E(X)=，令，则

E(X)====

12、设在15只同类型的零件中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求X的分布律。

解：根据题意X的所有可能取值为0，1，2只须求出P{X=0},P{X=1}, P{X=2}列成表格即可。

P0=P(X=0)=C13/ C15=

12

21

3153

3

3

2

销路好 0.7 100 40 销路差 0.3 -20 30

=1

P1=P(X=1)=C2 C3/ C=P2=P(X=2)=C2 C13/ C15=可以看到 pk≥0，k=0,1,2， X的分布律如下表

13

、

对

某

型

号

飞

X 机

的

飞

行

速

度

进

行

了

15

次

实

验

，

测

得

最

大

飞

行

速

度

pk 0 1 2 22/35 12/35 1/35 (m/s)422.2,417.2,425.6,420.3,425.8,423.1,418.7,428.2,438.3,434.0,412.3,431.5,413.5,441.3,423.0。根据长期经验，可以认为最大飞行速度服从正态分布。试就上述试验数据，对最大飞行速度的期望值进行区间估计(a=0.05)。 解：用X表示最大飞行速度，则X～N(μ，σ)，这里σ未知，故用

(,)

对总体均值μ进行区间估计

==(422.2+417.2+?+441.3+423.0)=425.0

S==[(422.2-425.0)+(417.2-425.0)+ ?+(423.0-425.0)]=72.049 s=8.488 当a=0.05，根据 P{}=0.025

查t分布表得，≈2.1448，则有总体均值的置信区间为 (,)=

(425.0-2.1448,425.0+2.1448)=(420.3,429.7)

故最大飞行速度μ的置信度为95%的置信区间为(420.3,429.7)。

2

2

2

2

2

2

14、一种汽车配件的平均长度要求为12cm，高于或低于该标准均被认为是不合格的。汽车生产企业在购进配件时，通常是经过招标，然后对中标的配件提供商提供的样品进行检验，以决定是否购进。现对一个配件提供商提供的10个样本进行了检验，结果如下(单位：cm)：

12.2 10.8 12.0 11.8 11.9 12.4 11.3 12.2 12.0 12.3

假定该供货商生产的配件长度服从正态分布，在0.05的显著水平下，检验该供货商提供的配件是否符合要求？ 解：依题意建立如下原假设和备择假设： H0：μ=12，H1：μ≠12

由于n＜30为小样本，采用t检验法计算检验统计量 t==-0.7035。

根据自由度n-1=10-1=9，查t分布表得==2.262，由于=0.7035＜=2.262，所以不拒绝原假设，即认为该供货商提供的配件符合要求。 t=

这是右侧检验，拒绝域为t≥)。经计算=89.6,=88.0,=4.3,=5.5,=5,t==1.14,查t分布表，得=1.8595。

15、设有甲乙两种零件，彼此可以代用，但乙零件比甲零件制造简单，造价低。经过试验获得抗压强度为（单位：kg/cm）

2

8