称的点，则实数的取值范围是______． 【答案】【解析】 因为函数点，等价于

，

增，在

上单调递减，，故方程

故答案为

.

在

上有解等价于为自然对数的底数）与

，在

在

的图象上存在关于轴对称的

，求导得 在，

上单调递的值域为

，

上有解，设有唯一的极值点，

，

， 从而的取值范围是

三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.设为数列（1）求数列（2）若数列【答案】(1) 【解析】 【分析】

（1）运用数列的递推式，化简整理即可得到所求通项公式； （2）bn【详解】（1）因为两式相减得：所以当所以

时，，即

. .

，当 即

时，

，

，由裂项相消求和即可得到所求和．

的前项和，已知的通项公式；

的前项和为，证明： (2)见证明

..

，对任意

，都有

.

（2）因为，，，

所以.

所以因为又因为所以所以当所以

在，所以

在

.

上是单调递减函数，

，

上是单调递增函数.

时，取最小值， .

【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧： (1)（4）

；（2）

； （3）

；

；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现

丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 18.在

中，

分别是角

的对边，

．

（1）求角的大小； （2）若

，求

的面积的最大值． （2）

【答案】（1）【解析】

试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得

，最后根据三角形内角范围求角的大小；（2）由余弦定理得

，最后根据面积公式

，

，

，

，

，所以

，

中，

，所以

，所以

．

，

得最大值

，再根据基本不等式得

试题解析：解：（Ⅰ）因为所以由正弦定理得即又所以在

（Ⅱ）由余弦定理得：∴∴当且仅当∴

，

，

时“”成立，此时的面积的最大值为．

，

为等边三角形，

19.2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生 450 人）中，采用分层抽样的方法从中抽取名学生进行调查. （1）已知抽取的名学生中含女生45人，求的值及抽取到的男生人数；

（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的

列联表.

请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由； （3）在抽取的选择“地理”的学生中按分层抽样再抽取6名，再从这6名学生中抽取2人了解学生对“地理”的选课意向情况，求2人中至少有1名男生的概率.

参考公式：

0.05 3.841 0.01 6.635 .

【答案】（1）【解析】 【分析】

，男生55人；（2）见解析；（3）

（1）利用频率与频数和样本容量的关系求出n和男生的人数； （2）求出列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；

（3）由分层抽样得到6名学生中男、女人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值． 【详解】（1）由题意得：（2）列联表为： 男生 女生 总计

，

，

选择“物理” 45 25 70 选择“地理” 10 20 30 总计 55 45 100 ，解得

，男生人数为：550×

=55人．

所以有 99%的把握认为选择科目与性别有关. （3）从30个选择地理的学生中分层抽样抽6名， 所以这6名学生中有2名男生，4名女生，

男生编号为1，2，女生编号为a，b，c，d，6名学生中再选抽2个，

则所有可能的结果为Ω={ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12}， 至少一名男生的结果为{a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，12}， 所以2人中至少一名男生的概率为

列联表；（2）根据公式

【点睛】（1）独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成

计算

的值；(3) 查表比较

与临界值的大小关系，作统计判断.

（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）