∴△AFD∽△BAD， ∴

=

，即DF?BD=AD①，

2

又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA， ∴△AED∽△OAD， ∴

=

，即OD?DE=AD②，

=

，

2

由①②可得DF?BD=OD?DE，即又∵∠EDF=∠BDO， ∴△EDF∽△BDO， ∵BC=1， ∴AB=AD=∴

=

、OD=、ED=2、BD=，即

=

，

、OB=，

解得：EF=．

【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点．

22（2018?广西桂林?12分）如图，已知抛物线y=ax+bx+6(a≠0)与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C.

(1)求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；

(2)点M为坐标平面内一点，若MA=MB=MC，求点M的坐标； (3)在抛物线上是否存在点E，使的坐标；若不存在，请说明理由.

∠ABE=

∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E

2

61

【答案】（1）y=-2x-4x+6;(2)M(-1，)；（3）E1（-2，6），E2（-4，-10） . 【解析】分析：（1）根据抛物线过A、B两点，待定系数法求解可得；；

（2）由（1）知抛物线对称轴为直线x=-1，设H为AC的中点，求出直线AC的垂直平分线的解析式即可得解； （3）①过点A作

交y轴于点F，交CB的延长线于点D，证明ΔAOF∽ΔCOA，求得

，求出

，

2

，分别求出直线AF、BC的解析式的交点

根据

∠ABE=

∠ACB求出

∠ABE=2，易求E点坐标.

详解：（1）把A（-3，0）、B（1，0）代入y=ax2+bx+6得，

，解得

∴y=-2x2

-4x+6, 令x=0，则y=6, ∴C(0，6)； （2）

=-2（x+1）2

+8,

∴抛物线的对称轴为直线x=-1. 设H为线段AC的中点，故H（

，3）.

设直线AC的解析式为：y=kx+m，则有

，解得，

，

∴y=2x+6

设过H点与AC垂直的直线解析式为：，

∴

∴b= ∴

∴当x=-1时，y= ∴M（-1，） （3）①过点A作

交y轴于点F，交CB的延长线于点D

62

∵∠ACO+∠CAO=90°,∠DAO+∠CAO=90° ∴∠DAO=∠ACO ∵∠ACO=∠ACO ∴ΔAOF∽ΔCOA ∴

∴

∵OA=3,OC=6 ∴ ∴

直线AF的解析式为： 直线BC的解析式为：

∴，解得

∴

∴

∴∠ACB= ∵

∠ABE=

∠ACB

63

∴∠ABE=2

轴，连接BM交抛物线于点E ∠ABE=2

过点A作∵AB=4，∴AM=8 ∴M（-3，8）

直线BM的解析式为：∴∴y=6 ∴E（-2，6）

，解得

②当点E在x轴下方时，过点E作∴

∠ABE=

2

，连接BE，设点E

∴m=-4或m=1（舍去） 可得E（-4，-10）

综上所述E1（-2，6），E2（-4，-10）

点睛：本题主要考查二次函数与轴对称、相似三角形的性质，根据题意灵活运用所需知识点是解题的关键．

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