∴△AFD∽△BAD， ∴
=
，即DF?BD=AD①，
2
又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA， ∴△AED∽△OAD， ∴
=
，即OD?DE=AD②，
=
，
2
由①②可得DF?BD=OD?DE，即又∵∠EDF=∠BDO， ∴△EDF∽△BDO， ∵BC=1， ∴AB=AD=∴
=
、OD=、ED=2、BD=，即
=
，
、OB=，
解得：EF=．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点．
22（2018?广西桂林?12分）如图，已知抛物线y=ax+bx+6(a≠0)与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C.
(1)求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；
(2)点M为坐标平面内一点，若MA=MB=MC，求点M的坐标； (3)在抛物线上是否存在点E，使的坐标；若不存在，请说明理由.
∠ABE=
∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E
2
61
【答案】（1）y=-2x-4x+6;(2)M(-1，)；（3）E1（-2，6），E2（-4，-10） . 【解析】分析：（1）根据抛物线过A、B两点，待定系数法求解可得；；
（2）由（1）知抛物线对称轴为直线x=-1，设H为AC的中点，求出直线AC的垂直平分线的解析式即可得解； （3）①过点A作
交y轴于点F，交CB的延长线于点D，证明ΔAOF∽ΔCOA，求得
，求出
，
2
，分别求出直线AF、BC的解析式的交点
根据
∠ABE=
∠ACB求出
∠ABE=2，易求E点坐标.
详解：（1）把A（-3，0）、B（1，0）代入y=ax2+bx+6得，
，解得
∴y=-2x2
-4x+6, 令x=0，则y=6, ∴C(0，6)； （2）
=-2（x+1）2
+8,
∴抛物线的对称轴为直线x=-1. 设H为线段AC的中点，故H（
，3）.
设直线AC的解析式为：y=kx+m，则有
，解得，
，
∴y=2x+6
设过H点与AC垂直的直线解析式为：，
∴
∴b= ∴
∴当x=-1时，y= ∴M（-1，） （3）①过点A作
交y轴于点F，交CB的延长线于点D
62
∵∠ACO+∠CAO=90°,∠DAO+∠CAO=90° ∴∠DAO=∠ACO ∵∠ACO=∠ACO ∴ΔAOF∽ΔCOA ∴
∴
∵OA=3,OC=6 ∴ ∴
直线AF的解析式为： 直线BC的解析式为：
∴，解得
∴
∴
∴∠ACB= ∵
∠ABE=
∠ACB
63
∴∠ABE=2
轴，连接BM交抛物线于点E ∠ABE=2
过点A作∵AB=4，∴AM=8 ∴M（-3，8）
直线BM的解析式为：∴∴y=6 ∴E（-2，6）
，解得
②当点E在x轴下方时，过点E作∴
∠ABE=
2
，连接BE，设点E
∴m=-4或m=1（舍去） 可得E（-4，-10）
综上所述E1（-2，6），E2（-4，-10）
点睛：本题主要考查二次函数与轴对称、相似三角形的性质，根据题意灵活运用所需知识点是解题的关键．
64