点 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,直线AB与x轴相交于点M,y轴相交于点E,抛物线与y轴相交于点F,在直
线AB上有一点P,若∠OPM=∠MAF,求△POE的面积;
(3)如图2,点Q是折线A-B-C上一点,过点Q作QN∥y轴,过点E作EN∥x轴,直线QN与直线EN相交于点N,连接QE,将△QEN沿QE翻折得到△QEN1 , 若点N1落在x轴上,
请直接写出Q点的坐标.【答案】(1)解:把点 ∴抛物线的解析式为:
代入
或
,解得:a=1, .
(2)解:设直线AB解析式为:y=kx+b,代入点A、B的坐标得:解得:
,
,
∴直线AB的解析式为:y=-2x-1,
∴E(0,-1),F(0,- ),M(- ,0),
57
∴OE=1,FE= , ∵∠OPM=∠MAF,
∴当OP∥AF时,△OPE∽△FAE, ∴
∴OP= FA= 设点P(t,-2t-1),
,
∴OP= ,
化简得:(15t+2)(3t+2)=0, 解得
,
,
∴S△OPE= ·OE· , 当t=-
时 ,S△OPE= ×1×
=
,
当t=- 时 ,S△OPE= ×1× = , 综上,△POE的面积为 (3)Q(- , ).
【考点】二次函数的应用,翻折变换(折叠问题),相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】(3)解:由(2)知直线AB的解析式为:y=-2x-1,E(0,-1),设Q(m,-2m-1),N1(n,0), ∴N(m,-1),
∵△QEN沿QE翻折得到△QEN1 ∴NN1中点坐标为(
,
),EN=EN1 ,
或 .
∴NN1中点一定在直线AB上, 即
=-2×
-1,
∴n=- -m, ∴N1(- -m,0), ∵EN=EN1 ,
2
2
58
∴m=(- -m)+1, 解得:m=- , ∴Q(- , ).
【分析】(1)用待定系数法将点B点坐标代入二次函数解析式即可得出a值.
(2)设直线AB解析式为:y=kx+b,代入点A、B的坐标得一个关于k和b的二元一次方程组,解之即可得直线AB解析式,根据题意得E(0,-1),F(0,- ),M(- ,0),根据相
22
似三角形的判定和性质得OP= FA= ,设点P(t,-2t-1),
根据两点间的距离公式即可求得t值,再由三角形面积公式△POE的面积.
(3)由(2)知直线AB的解析式为:y=-2x-1,E(0,-1),设Q(m,-2m-1),N1(n,0),从而得N(m,-1),根据翻折的性质知NN1中点坐标为(
,
)且在直线AB上,
将此中点坐标代入直线AB解析式可得n=- -m,即N1(- -m,0),再根据翻折的性质和两点间的距离公式得m=(- -m)+1,解之即可得Q点坐标.
21(2018·广东·9分)如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD,以AB为直径的⊙O经过点C,连接AC,OD交于点E. (1)证明:OD∥BC;
(2)若tan∠ABC=2,证明:DA与⊙O相切;
(3)在(2)条件下,连接BD交于⊙O于点F,连接EF,若BC=1,求EF的长.
2
2
【分析】(1)连接OC,证△OAD≌△OCD得∠ADO=∠CDO,由AD=CD知DE⊥AC,再由AB为直径知BC⊥AC,从而得OD∥BC;
(2)根据tan∠ABC=2可设BC=a、则AC=2a、AD=AB=OE=a、AE=CE=AC=a,进一步求得DE=证∠OAD=90°即可得;
(3)先证△AFD∽△BAD得DF?BD=AD①,再证△AED∽△OAD得OD?DE=AD②,由①②得DF?BD=OD?DE,即
=
,结合∠EDF=∠BDO知△EDF∽△BDO,据此可得
=
,结合(2)
2
2
=,证OE为中位线知
=2a,再△AOD中利用勾股定理逆定理
59
可得相关线段的长,代入计算可得. 【解答】解:(1)连接OC,
在△OAD和△OCD中, ∵
,
∴△OAD≌△OCD(SSS), ∴∠ADO=∠CDO, 又AD=CD, ∴DE⊥AC, ∵AB为⊙O的直径, ∴∠ACB=90°,
∴∠ACB=90°,即BC⊥AC, ∴OD∥BC; (2)∵tan∠ABC=
=2,
∴设BC=a、则AC=2a, ∴AD=AB=
=
,
∵OE∥BC,且AO=BO,
∴OE=BC=a,AE=CE=AC=a, 在△AED中,DE==2a, 在△AOD中,AO2
+AD2
=()2
+(
a)2
=
a2,OD2=(OF+DF)2=(a+2a)2
=
a2
,∴AO2
+AD2
=OD2
, ∴∠OAD=90°, 则DA与⊙O相切; (3)连接AF, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠AFD=∠BAD=90°, ∵∠ADF=∠BDA,
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