点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M,y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直
线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF,求△POE的面积；
（3）如图2，点Q是折线A-B-C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1 ， 若点N1落在x轴上，
请直接写出Q点的坐标.【答案】（1）解：把点 ∴抛物线的解析式为：
代入
或
，解得：a=1, .
（2）解：设直线AB解析式为：y=kx+b,代入点A、B的坐标得：解得：
，
，
∴直线AB的解析式为：y=-2x-1,
∴E（0，-1），F（0，- ），M（- ，0），
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∴OE=1，FE= , ∵∠OPM=∠MAF,
∴当OP∥AF时，△OPE∽△FAE， ∴
∴OP= FA= 设点P（t,-2t-1）,
,
∴OP= ,
化简得：（15t+2）（3t+2）=0, 解得
，
，
∴S△OPE= ·OE· , 当t=-
时 ，S△OPE= ×1×
=
，
当t=- 时 ，S△OPE= ×1× = ， 综上，△POE的面积为 （3）Q（- ， ）.
【考点】二次函数的应用，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（3）解：由（2）知直线AB的解析式为：y=-2x-1,E（0，-1），设Q（m，-2m-1）,N1（n，0）， ∴N（m,-1）,
∵△QEN沿QE翻折得到△QEN1 ∴NN1中点坐标为（
，
），EN=EN1 ，
或 .
∴NN1中点一定在直线AB上， 即
=-2×
-1,
∴n=- -m, ∴N1（- -m，0）， ∵EN=EN1 ，
2
2
58
∴m=（- -m）+1， 解得：m=- , ∴Q（- ， ）.
【分析】（1）用待定系数法将点B点坐标代入二次函数解析式即可得出a值.
（2）设直线AB解析式为：y=kx+b,代入点A、B的坐标得一个关于k和b的二元一次方程组，解之即可得直线AB解析式，根据题意得E（0，-1），F（0，- ），M（- ，0），根据相
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似三角形的判定和性质得OP= FA= ,设点P（t,-2t-1）,
根据两点间的距离公式即可求得t值，再由三角形面积公式△POE的面积.
（3）由（2）知直线AB的解析式为：y=-2x-1,E（0，-1），设Q（m，-2m-1）,N1（n，0），从而得N（m,-1）,根据翻折的性质知NN1中点坐标为（
，
）且在直线AB上，
将此中点坐标代入直线AB解析式可得n=- -m,即N1（- -m，0），再根据翻折的性质和两点间的距离公式得m=（- -m）+1，解之即可得Q点坐标.
21（2018·广东·9分）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E． （1）证明：OD∥BC；
（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；
（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．
2
2
【分析】（1）连接OC，证△OAD≌△OCD得∠ADO=∠CDO，由AD=CD知DE⊥AC，再由AB为直径知BC⊥AC，从而得OD∥BC；
（2）根据tan∠ABC=2可设BC=a、则AC=2a、AD=AB=OE=a、AE=CE=AC=a，进一步求得DE=证∠OAD=90°即可得；
（3）先证△AFD∽△BAD得DF?BD=AD①，再证△AED∽△OAD得OD?DE=AD②，由①②得DF?BD=OD?DE，即
=
，结合∠EDF=∠BDO知△EDF∽△BDO，据此可得
=
，结合（2）
2
2
=，证OE为中位线知
=2a，再△AOD中利用勾股定理逆定理
59
可得相关线段的长，代入计算可得． 【解答】解：（1）连接OC，
在△OAD和△OCD中， ∵
，
∴△OAD≌△OCD（SSS）， ∴∠ADO=∠CDO， 又AD=CD， ∴DE⊥AC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC， ∴OD∥BC； （2）∵tan∠ABC=
=2，
∴设BC=a、则AC=2a， ∴AD=AB=
=
，
∵OE∥BC，且AO=BO，
∴OE=BC=a，AE=CE=AC=a， 在△AED中，DE==2a， 在△AOD中，AO2
+AD2
=（）2
+（
a）2
=
a2，OD2=（OF+DF）2=（a+2a）2
=
a2
，∴AO2
+AD2
=OD2
， ∴∠OAD=90°， 则DA与⊙O相切； （3）连接AF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFD=∠BAD=90°， ∵∠ADF=∠BDA，
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