则==+=+a，

而==a，

∴+a=a， 解得：a=，

∴=×=．

【点评】本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质和三角形重心的定义及其性质等知识点．

16. （2018·浙江宁波·12分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长； （2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．

（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求

【考点】相似三角形的判定与性质

【分析】（1）根据比例三角形的定义分AB=BC?AC、BC=AB?AC、AC=AB?BC三种情况分别代入计算可得；

（2）先证△ABC∽△DCA得CA=BC?AD，再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得； （3）作AH⊥BD，由AB=AD知BH=BD，再证△ABH∽△DBC得AB?BC=BH?DB，即AB?BC=BD，结合AB?BC=AC知BD=AC，据此可得答案．

【解答】解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB=2、AC=3，

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2

2

2

2

2

2

2

2

的值．

①当AB2

=BC?AC时，得：4=3AC，解得：AC=； ②当BC2

=AB?AC时，得：9=2AC，解得：AC=； ③当AC2=AB?BC时，得：AC=6，解得：AC=（负值舍去）；

所以当AC=或或时，△ABC是比例三角形；

（2）∵AD∥BC， ∴∠ACB=∠CAD， 又∵∠BAC=∠ADC， ∴△ABC∽△DCA， ∴

=

，即CA2

=BC?AD，

∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ADB=∠ABD， ∴AB=AD， ∴CA2

=BC?AB，

∴△ABC是比例三角形；

（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，

∵AB=AD， ∴BH=BD，

∵AD∥BC，∠ADC=90°， ∴∠BCD=90°， ∴∠BHA=∠BCD=90°， 又∵∠ABH=∠DBC， ∴△ABH∽△DBC，

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