△PCF∽△PAC，从而得到PC=PE=5．然后求出sin∠PEF的值． 【解答】解：（1）证明：∵CE⊥AD于点E ∴∠DEC=90°， ∵BC=CD，

∴C是BD的中点，又∵O是AB的中点， ∴OC是△BDA的中位线， ∴OC∥AD

∴∠OCE=∠CED=90° ∴OC⊥CE，又∵点C在圆上， ∴CE是圆O的切线． （2）连接AC

∵AB是直径，点F在圆上 ∴∠AFB=∠PFE=90°=∠CEA ∵∠EPF=∠EPA ∴△PEF∽△PEA ∴PE=PF×PA ∵∠FBC=∠PCF=∠CAF 又∵∠CPF=∠CPA ∴△PCF∽△PAC ∴PC=PF×PA ∴PE=PC

在直角△PEF中，sin∠PEF=

=．

22

【点评】本题考查了切线的判定、三角形的中位线定理、相似三角形的性质和判定等知识点．利用三角形相似，说明PE=PC是解决本题的难点和关键．

14（2018·四川自贡·10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．

（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

45

（2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）

【分析】（1）作∠ABC的角平分线交AC于E，作EO⊥AC交AB于点O，以O为圆心，OB为半径画圆即可解决问题；

（2）作OH⊥BC于H．首先求出OH、EC、BE，利用△BCE∽△BED，可得【解答】解：（1）⊙O如图所示；

（2）作OH⊥BC于H．

=

，解决问题；

∵AC是⊙O的切线， ∴OE⊥AC，

∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°， ∴四边形ECHO是矩形， ∴OE=CH=，BH=BC﹣CH=， 在Rt△OBH中，OH=∴EC=OH=2，BE=

=2

=2， ，

∵∠EBC=∠EBD，∠BED=∠C=90°， ∴△BCE∽△BED， ∴∴∴DE=

==

， ， ．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定

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理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

15（2018?湖北黄石?9分）在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）．

（1）如图1，若EF∥BC，求证：

（2）如图2，若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，

，求

的值．

【分析】（1）由EF∥BC知△AEF∽△ABC，据此得

=

，根据

=（

）即可得证；

2

（2）分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H，据此知△AFN∽△ACH，得=，

根据=即可得证；

（3）连接AG并延长交BC于点M，连接BG并延长交AC于点N，连接MN，由重心性质知S△

ABM

=S△ACM、=，设=a，利用（2）中结论知==、==a，

从而得==+a，结合==a可关于a的方程，解之

求得a的值即可得出答案． 【解答】解：（1）∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴

=

，

2

∴

=（）=?=；

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（2）若EF不与BC平行，（1）中的结论仍然成立，

分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H， ∵FN⊥AB、CH⊥AB， ∴FN∥CH， ∴△AFN∽△ACH， ∴

=

，

∴==；

（3）连接AG并延长交BC于点M，连接BG并延长交AC于点N，连接MN，

则MN分别是BC、AC的中点， ∴MN∥AB，且MN=AB， ∴=

=，且S△ABM=S△ACM，

∴=， 设

=a，

由（2）知：==×=，==a，

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