∴PE=PE'﹣EE'=∴

，

，

同理可得，当点P在线段DE上时，，如图4，

综上所述，CP的长为

或

．

【点评】此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的性质和平移的性质解答，注意（2）分两种情况分析．

11. （2018年江苏省南京市）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G． （1）求证：△AFG∽△DFC；

（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径．

【分析】（1）欲证明△AFG∽△DFC，只要证明∠FAG=∠FDC，∠AGF=∠FCD； （2）首先证明CG是直径，求出CG即可解决问题； 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ADC=90°， ∴∠CDF+∠ADF=90°， ∵AF⊥DE， ∴∠AFD=90°， ∴∠DAF+∠ADF=90°， ∴∠DAF=∠CDF，

∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，

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∴∠FCD+∠DGF=180°， ∵∠FGA+∠DGF=180°， ∴∠FGA=∠FCD， ∴△AFG∽△DFC．

（2）解：如图，连接CG．

∵∠EAD=∠AFD=90°，∠EDA=∠ADF， ∴△EDA∽△ADF， ∴

=

，即

=

，

∵△AFG∽△DFC， ∴∴

==

， ，

在正方形ABCD中，DA=DC， ∴AG=EA=1，DG=DA﹣AG=4﹣1=3， ∴CG=

∵∠CDG=90°， ∴CG是⊙O的直径， ∴⊙O的半径为．

=5，

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．

12. （2018·新疆生产建设兵团·12分）如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．

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【分析】（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接OBB，证明OB⊥PE即可．

（2）要求sinE，首先应找出直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可．而sinE既可放在直角三角形EAP中，也可放在直角三角形EBO中，所以利用相似三角形的性质求出EP或EO的长即可解决问题

【解答】（1）证明：连接OB∵PO⊥AB， ∴AC=BC， ∴PA=PB

在△PAO和△PBO中

∴△PAO和≌△PBO ∴∠OBP=∠OAP=90° ∴PB是⊙O的切线．

（2）连接BD，则BD∥PO，且BD=2OC=6 在Rt△ACO中，OC=3，AC=4 ∴AO=5

在Rt△ACO与Rt△PAO中， ∠APO=∠APO， ∠PAO=∠ACO=90° ∴△ACO～△PAO =∴PO=

，PA=

∴PB=PA=

在△EPO与△EBD中， BD∥PO ∴△EPO∽△EBD

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∴=， ，

解得EB=PE=∴sinE=

， =

【点评】本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质．能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键．

13 （2018·四川宜宾·10分）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为BC延长线一点，且BC=CD，CE⊥AD于点E． （1）求证：直线EC为圆O的切线；

（2）设BE与圆O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，已知∠PCF=∠CBF，PC=5，PF=4，求sin∠PEF的值．

【考点】ME：切线的判定与性质；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形．

【分析】（1）说明OC是△BDA的中位线，利用中位线的性质，得到∠OCE=∠CED=90°，从而得到CE是圆O的切线．

（2）利用直径上的圆周角，得到△PEF是直角三角形，利用角相等，可得到△PEF∽△PEA、

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