（2）找出图中与△AGB相似的三角形，并证明；

（3）BF的延长线交CD的延长线于点H，交AC于点M．求证：BM=MF?MH．

2

【分析】（1）先判断出∠DEF=∠EBA，∠AEF=∠EAB，即可得出结论；

（2）先判断出∠GAB=∠ABE+∠ADB=2∠ABE，进而得出∠GAB=∠AEO，即可得出结论； （3）先判断出BM=DM，∠ADM=∠ABM，进而得出∠ADM=∠H，判断出△MFD∽△MDH，即可得出结论，

【解答】解：（1）∠DEF=∠AEF， 理由：∵EF∥AB，

∴∠DEF=∠EBA，∠AEF=∠EAB， ∵∠EAB=∠EBA， ∴∠DEF=∠AEF；

（2）△EOA∽△AGB， 理由：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，AC⊥BD，

∴∠GAB=∠ABE+∠ADB=2∠ABE， ∵∠AEO=∠ABE+∠BAE=2∠ABE， ∵∠GAB=∠AEO，∠GAB=∠AOE=90°， ∴△EOA∽△AGB；

（3）如图，连接DM，∵四边形ABCD是菱形， 由对称性可知，BM=DM，∠ADM=∠ABM， ∵AB∥CH， ∴∠ABM=∠H，

37

∴∠ADM=∠H， ∵∠DMH=∠FMD， ∴△MFD∽△MDH， ∴

2

，

∴DM=MF?MH， ∴BM=MF?MH．

2

【点评】此题是相似形综合题，主要考查了菱形的性质，对称性，相似三角形的判定和性质，判断出△EOA∽△AGB是解本题的关键．

10.（2018·山东潍坊·12分）如图1，在?ABCD中，DH⊥AB于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB于点F，AB=6，DH=4，BF：FA=1：5．

（1）如图2，作FG⊥AD于点G，交DH于点M，将△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，连接M′B．

①求四边形BHMM′的面积；

②直线EF上有一动点N，求△DNM周长的最小值．

（2）如图3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QK∥AB，过CD边上的动点P作PK∥EF，并与QK交于点K，将△PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K′恰好落在直线AB上，求线段CP的长．

38

【分析】（1）①根据相似三角形的判定和性质以及平移的性质进行解答即可；②连接CM交直线EF于点N，连接DN，利用勾股定理解答即可； （2）分点P在线段CE上和点P在线段ED上两种情况进行解答． 【解答】解：（1）①在?ABCD中，AB=6，直线EF垂直平分CD，

∴DE=FH=3， 又BF：FA=1：5， ∴AH=2，

∵Rt△AHD∽Rt△MHF， ∴， 即

，

∴HM=1.5，

根据平移的性质，MM'=CD=6，连接BM，如图1，

四边形BHMM′的面积=

；

②连接CM交直线EF于点N，连接DN，如图2，

39

∵直线EF垂直平分CD， ∴CN=DN， ∵MH=1.5， ∴DM=2.5，

在Rt△CDM中，MC2

=DC2

+DM2

， ∴MC2

=62

+（2.5）2， 即MC=6.5， ∵MN+DN=MN+CN=MC， ∴△DNM周长的最小值为9． （2）∵BF∥CE， ∴，

∴QF=2， ∴PK=PK'=6，

过点K'作E'F'∥EF，分别交CD于点E'，交QK于点F'，如图3，

当点P在线段CE上时， 在Rt△PK'E'中， PE'2

=PK'2

﹣E'K'2

， ∴

，

∵Rt△PE'K'∽Rt△K'F'Q， ∴， 即，

解得：

，

40