图形的相似与位似
一、选择题
1． ．（2018?山东枣庄?3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD， ∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°， ∴FC=FG，
∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°， ∴△BFG∽△BAC， ∴
=
，
∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°， ∴BC=4， ∴
=
，
∵FC=FG， ∴
=
，
1
解得：FC=， 即CE的长为． 故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．
2． （2018?山东滨州?3分）在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ） A．（5，1） B．（4，3） C．（3，4） D．（1，5）
【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半， 又∵A（6，8），
∴端点C的坐标为（3，4）． 故选：C．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．
3 （2018?江苏扬州?3分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：
①△BAE∽△CAD；②MP?MD=MA?ME；③2CB=CP?CM．其中正确的是（ ）
2
2
A．①②③ B．① C．①② D．②③
【分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证； （2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可； （3）2CB转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证． 【解答】解：由已知：AC=∴
AB，AD=
AE
2
∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAE=∠CAD ∴△BAE∽△CAD 所以①正确 ∵△BAE∽△CAD ∴∠BEA=∠CDA ∵∠PME=∠AMD ∴△PME∽△AMD ∴
∴MP?MD=MA?ME 所以②正确 ∵∠BEA=∠CDA ∠PME=∠AMD
∴P、E、D、A四点共圆 ∴∠APD=∠EAD=90°
∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90° ∴△CAP∽△CMA ∴AC=CP?CM ∵AC=
22
AB
∴2CB=CP?CM 所以③正确 故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．
4 （2018·山东临沂·3分）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，
3
测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（ ）
A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m
=
，然后利用
【分析】先证明∴△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得比例性质求出CD即可． 【解答】解：∵EB∥CD， ∴△ABE∽△ACD， ∴
=
，即
=
，
∴CD=10.5（米）． 故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
5（2018·山东潍坊·3分）在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（ ） A．（2m，2n）
B．（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）
C．（m，n） D．（m，n）或（﹣m，﹣n） 【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，
则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（﹣2），n×（﹣2）），即（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）， 故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
6.（2018?湖南省永州市?4分）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（ ）
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