②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知?1??2??3???，则当??变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示） ①a2?b2?c2?d2?_______；
②b与c的关系为_______，a与d的关系为_______．
【答案】（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a,b，斜边为c，那么a2?b2?c2，（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）；②证明见解析；（2）①3，
②结论S1?S2?S3；（3）①m2，②b?c， a?d?m． 【解析】 【分析】
（1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可； ②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立；
（2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即可得到答案；
②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案； （3）①由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，a2?b2?c2?d2?m2； ②由?1??2??3???，则sin1?sin2?sin3?sin?，同理可得
cos1?cos2?cos3?cos?，利用解直角三角形以及勾股定理，即可得到答案．
【详解】解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a,b，斜边为c，那么
a2?b2?c2．
（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．） ②证明：
在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即c?21ab?4?(b?a)2， 2化简得a2?b2?c2．
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即(a?b)?c?221ab?4，化简得a2?b2?c2． 2在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即
111(a?b)(a?b)?ab?2?c2，化简a2?b2?c2． 222（2）①根据题意，则如下图所示：
在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则 由勾股定理，得a2?b2?c2， ∴S1?S2?S3；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则
1a11b11c1S1???()2??a2，S2???()2??b2，S3???()2??c2，
228228228122∴S1?S2??(a?b)，
8∵a2?b2?c2， ∴?(a?b)?182212?c， 8∴S1?S2?S3；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则
S1?1232132132asin60??a，S2?b2sin60??b，S3?c2sin60??c， 24242432(a?b2)，a2?b2?c2， 4∵S1?S2?∴3232(a?b2)?c， 44∴S1?S2?S3；
∴满足S1?S2?S3的有3个， 故答案为：3； ②结论S1?S2?S3；
1?a?1?b?1?c?S1?S2?????????S3????
2?2?2?2?2?2?2221?S1?S2???a2?b2?c2??S3
8a2?b2?c2，
?S1?S2?S3；
（3）∠如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：A+B=E，C+D=F，E+F=M， ∴a2?b2?e2，c?d?f，e?f?m， ∴a2?b2?c2?d2?m2 故答案为：m2；
∠∵?1??2??3???，
∴sin1?sin2?sin3?sin?，cos1?cos2?cos3?cos?， 由解直角三角形和正方形的性质，则
222222e?m?cos??，b?e?sin??，
∴b?m?cos???sin??； 同理：c?m?sin???cos??；
a?m?cos???cos??；
d?m?sin???sin??；
∴b?c，