第二讲 函数的概念和性质（1）
-----函数及其表示、解析式
【基础回顾】 一、基础知识： 知识点一：函数的概念：
1．函数的概念：一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f,对于集合A中的 ,在集合B中都有 和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为 ,x?A.
2．其中所有的 组成的集合A叫做函数y=f(x)定义域；对于A中的每一个x值，都有一个输出值y与之对应，将所有 组成的集合称为函数的值域．定义一个函数f:A?B，函数的值域C与B的关系是 ． 3．函数的三要素： ．
4．函数y=f(x)的图象：将函数f(x)自变量的 作为横坐标，相应的
作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点 ，当自变量 时，所有这些点组成的图形就是 ．即直角坐标系中点集 为函数y=f(x),x?A的图象．
5． 映射：一般地，设A、B是两个非空集合，如果按某种对应法则f,对于集合A中的 ,在集合B中都有 和它对应，这样的单值对应叫做从集合A到集合B的映射，记作f：A?B．
6． 从映射的观点理解函数，函数是 的映射． 知识点二：函数的表示方法：
1．函数的表示方法：列表法（列出自变量与函数值的表，表达函数关系的方法如：三角函数表等）、解析法、图象法．
列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法． 解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法． 图像法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法．
2．分段函数：在定义域不同的范围内，用不同的解析式表示．
注意：分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
知识点三： 求函数解析式的方法：
1．待定系数法：明确已知函数的类型，可用待定系数法（如二次函数、有理函数等可设，根据题设条件，列出方程组，解出a,b,c等即可． y?ax2?bx?c(a?0)）
2．换元法：已知复合函数f(h(x))的解析式，形如f[h(x)]?g(x)，求f(x)的问题，往往可设h(x)?t，从中解出x,代入g(x)进行换元来解．
3．解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(?x),f()等，必须根据已知等式再构造其它等式组成方程组，通过解方程组求出
1xf(x)．
二、基础自测：
1．下列图象中，表示函数关系y?f(x)的是 ．
y y y y O A
x O B x O x O D x C 2．给定映射f:(x,y)→(x+2y,2x－y),在映射f下，(3,1)的原象为 ．
?x?1(x≤1)f(x)?3．已知函数，则f(f(1))= ． ?2x(x?1)??1,x≥0,则不等式(x?1)f(x)?x的解集是 . 4．已知函数f(x)???1,x?0?5．已知f(x?1)?x?2x，则f(x)=___ ____． 6．已知f(cosx)=cos5x，则f(sinx)= ． 【典型例题】
例题1：判断下列对应是否为函数： （1）x?22,x?0,x?R；（2）x?y,y?x,x?N,y?R； x（3）x?y?x，x?{x|0?x?6}，y?{y|0?y?3}； （4）x?y?1x，x?{x|0?x?6}，y?{y|0?y?3}． 6【分析】解本题的关键是抓住函数的定义，判断一个对应是否是函数，要注意三个关键词：
“非空”、“每一个”、“惟一”，在定义的基础上输入一些数字进行验证，当不是函数时，只要列举出一个集合A中的x即可． 解：（1）是；（2）不是；（3）不是；（4）是． 例题2： 作出下列函数的图象. （1）f(x)＝x－2|x|＋1；（2）y=()解：图略．
例题3: （1）f(x+1)=x+2x，求f(x) ．
（2）已知f(x?2
12|x|
；（3）y=|log（1-x）|；（4）y=
122x?1． x?111)?x3?3，求f(x) ． xx1x(3)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2，试求出f(x)的解析式. （4）已知函数f(x)满足2f(x)?f()?3x，求f(x)．
解：（1）令t=x+1,∴t≥1，x=（t-1）.则f(t)=(t-1)+2(t-1)=t-1,即f(x)=x-1,x∈［1，+∞).
2
2
2
2
（2）∵f(x?1111)?x3?3?(x?)3?3(x?)， xxxx∴f(x)?x3?3x(x?2或x??2)．
（3）设f(x)=ax+bx+c (a≠0),∴f(x+2)=a(x+2)+b(x+2)+c,则
f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.
22
?4a?4?a?12
∴?，∴?，又f(0)=3?c=3,∴f(x)=x-x+3. ?4a?2b?2?b??1（4）2f(x)?f()?3x ①，把①中的x换成①?2?②得3f(x)?6x?1x113，得2f()?f(x)? ②， xxx31，∴f(x)?2x?． xx例题4：如图，在坐标平面内△ABC的顶点A（0，2），B（－1，0），C（1，0），有一个随t变化的带形区域，其边界为直线y=t和y=t+1，设这个带形区域覆盖△ABC的面积为S，试求以t为自变量的函数S的解析式，并画出这个函数的图象． 解：根据t的取值范围分情况讨论：
（1）当0≤t≤1时，带形区域覆盖△ABC的图形为梯形DEGF，
由题可知这个梯形的高为1，根据题中的条件解出：
直线AC的解析式为y=-2x+2．则下底为DE=2NE=2-t，上底为FG=2MG=1-t． 根据梯形的面积公式得：S?13?2t[(2?t)?(1?t)]?1?，0≤t≤1 ； 2211(2?t)2?(t?2)2，1＜t＜2； 22(2）当1＜t＜2时，带形区域覆盖△ABC的图形为三角形ADE的面积，则三角形的高为2-t，底为DE=2-t，根据三角形的面积公式得：S?（3）当-1＜t＜0时，带形区域覆盖△ABC的图形为梯形BCGF，高为t+1，上底为FG=1-t，下底为2，根据梯形的面积公式得：S?＜0．
11[(1?t)?2]?(t?1)??(t2?2t?3)，-1＜t223?12?t?t??22(?1?t?0)?3?∴S???t? (0?t?1),根据求出的解析式可以画出相应的函数的草图
2?(1?t?2)?1(t?2)2??2（略）． 【巩固练习】
1．设f:A→B是集合A到B的映射，下列命题中：①A中不同元素必有不同的象；②B中每一个元素在A中必有原象；③A中每一个元素在B中必有象；④B中每一个元素在A中的原象唯一．真命题是 ．
2．下列四组函数，表示同一函数的是 ．
①f(x)=logaa,g(x)=alogax(a>0,a≠1)； ②f(x)=x2,g(x)?3x3；
x
x2?4t2?4,g(t)?③f(x)=2x－1 (x∈R),g(x)=2x+1 (x∈Z)；④f(x)?． x?2t?23．若f(1－x)=x，则f(x)= , 若f(a)=x(a>0，且a≠1)，则f(x)= ．
11若f(x－)?x2?2,则f(x)= _．
xx2x
?log3x,x?014．（2010年高考湖北卷文科3）已知函数f(x)??x，则f(f())? ．
9?2,x?05. 已知f(x)=ax+bx+c，若f(0)=0，且f(x+1)=f(x)+x+1，则f(x)= ． 6．设f（x）满足关系式2f(x)?f()?3x，求f(x)= ．
2
1x