15．（14分）已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1=25，a4=16， （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn的最大值．

【解答】解：（1）{an}是公差为d的等差数列 a1=25，a4=16， 可得d=

=

=﹣3，

则an=a1+（n﹣1）d=25﹣3（n﹣1）=28﹣3n，n∈N*； （2）Sn=na1+n（n﹣1）d =25n﹣n（n﹣1） =﹣（n2﹣当n=

n）=﹣（n﹣

，但

）2+

，

时，Sn=∈（8，9），

由S8=200﹣12×7=116； S9=225﹣12×9=117； 则Sn的最大值为117．

16．（14分）已知不等式ax2+（a+b）x+1＞0（a，b∈R，a≠0）． （1）若关于x的不等式的解集为{x|﹣1＜x＜3}，求a，b的值； （2）当

时，不等式ax2+（a+b）x+1＞0对于x∈R恒成立，求a的值．

【解答】解：（1）不等式ax2+（a+b）x+1＞0（a，b∈R，a≠0）． ∵不等式的解集为{x|﹣1＜x＜3}，

∴方程ax2+（a+b）x+1=0的两个根分别为﹣1，和3． 韦达定理可得：﹣1+3=解得：a=（2）当

，b=1

时，可得不等式ax2+（a+）x+1＞0对于x∈R恒成立，

，﹣1×3=

即2ax2+（2a+1）x+2＞0． ∴

，即

解得：

．

17．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边a，b，c，且bcosB是acosC，ccosA的等差中项，△ABC的面积等于（1）求角B的值；

（2）求△ABC周长的最小值．

【解答】解：（1）∵bcosB是acosC，ccosA的等差中项， ∴acosC+ccosA=2bcosB，

由正弦定理，得sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosB， 即sin（A+C）=2sinBcosB， ∵A+C=π﹣B，0＜B＜π， ∴sin（A+C）=sinB≠0， ∴cosB=， ∴B=

；

，S△ABC=acsinB=

ac=

， ．

（2）由B=∴ac=4， ∴a+c≥2

=4，

=，

由余弦定理得：得

即a2+c2﹣ac=b2，即b2≥ac=4， 即b≥2 故a+b+c≥6，

即△ABC周长的最小值为6．

18．（16分）某地一圆形广场的边缘分别有一居民楼及一办公大楼，某单位拟在该广场举办一次大型公益活动，需在广场的圆弧边上安装一个广播，为减少对居民及办公人员的影响，决定先进行噪音测试，工作人员分别在居民楼及办公大楼内放置A，B两个测试仪（假设A，B两个测试仪和广播在同一平面上，AB可近似看成圆形广场的直径，AB=100m）．且由于装修材质不同，隔音效果也不同，

已知噪音与到测试点距离的平方成反比，到A测试点的比例系数为k（k＞0），到B测试点的比例系数是4k．规定总噪音y是到A，B两侧试点的噪音之和，当广播装在AB弧的中点时，总噪音为0.2．设广播到A测试点的距离为x． （1）求k的值；

（2）问当x为多少时，y最小．

【解答】解：（1）∵AC=x，则BC=∴y=

+

，

，

当广播装在AB弧的中点时，总噪音为0.2．即x=50∴0.2=

+

，

时，

解得k=200， （2）由（1）可得y=令104+3x2=t，则x2=∴y=

+， =

=

，

=

．

∵t+∴

≥2

=4×104，当且仅当t2=4×108即t=2×104时取等号， ≥

=0.06．

∴当y取得最小值时，104+3x2=2×104，即x=

．

19．（16分）在△ABC中，角A，B，C所对边为a，b，c，已知c=1，sinA+2sinB=2sinC．

（1）求证：；

（2）求角C的范围； （3）求

的最小值．

【解答】证明：（1）∵sinA+2sinB=2sinC， ∴a+2b=2c=2，即a=2﹣2b， ∵a＞0，2﹣2b＞0，即b＜1．

又a﹣b＜c=1，即2﹣2b﹣b＜1，解得b∴

．

．

解：（2）由（1）可得a=2﹣2b， 由余弦定理，得：cosC====﹣+∵

， ，

＜1，

∴﹣＜﹣+

即：﹣＜cosC＜1， 故得：0＜C＜（+

=

+

=

+

；

3=

）．

当且仅当∴

，即b=时取等号，

的最小值为3．

20．（16分）已知正项数列{an}中，a1=2，数列{an}的前n项和为Sn，且